lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 6 Núcleo e Imagem 63
derivação D: C k (R) → C k−1 (R) é o subespaço uni-dimensional de
C k (R) formado pelas funções constantes. O núcleo de um funcional
linear não-nulo ϕ: E → R é um hiperplano H ⊂ E.
Sejam A: E → F e B: F → E transformações lineares. Diz-se que
B é uma inversa à esquerda de A quando BA = I E , isto é, quando
B(Av) = v para todo v ∈ E.
Exemplo 6.6. Seja A: R 2 → R 3 definida por A(x,y) = (x+2y,2x+
3y,3x+4y). A transformação linear B: R 3 → R 2 , dada por
cumpre a relação
B(x,y,z) = (−3x+2y,2x−y)
B(A(x,y)) = B(x+2y,2x+3y,3x+4y)
= (−3(x+2y)+2(2x+3y),2(x+2y)−(2x+3y))
= (x,y)
para qualquer (x,y) ∈ R 2 . Logo B é uma inversa à esquerda para A.
Exemplo 6.7. Uma transformação linear pode admitir uma infinidade
de inversas à esquerda. Por exemplo, seja A: R 2 → R 3 dada
por A(x,y) = (x,y,0). Para quaisquer a,b ∈ R, a transformação
linear B: R 3 → R 2 , dada por B(x,y,z) = (x + az,y + bz) é uma inversa
à esquerda de A, pois BA(x,y) = B(x,y,0) = (x,y) para todo
(x,y) ∈ R 2 .
Teorema 6.5. Sejam E e F espaços vetoriais de dimensão finita. A
transformação linear A: E → F possui inversa à esquerda se, e somente
se, é injetiva.
Demonstração: Seja B: F → E inversa à esquerda de A. Então
Au = Av ⇒ u = B(Au) = B(Av) = v, logo A é injetiva. Reciprocamente,
suponhamos que A seja injetiva. A fim de obter uma inversa
à esquerda B para A, tomemos {v 1 ,...,v n } ⊂ E, uma base. Pelo Teorema
6.3, os vetores Av 1 ,...,Av n ∈ F são L.I., logo podemos achar
vetores w 1 ,...,w k ∈ F tais que
{Av 1 ,...,Av n ,w 1 ,...,w k } ⊂ F
seja uma base. (Teorema 3.4.) Pelo Teorema 4.1, a fim de definir
a transformação linear B: F → E, basta especificar seus valores nos