lgebra Linear, Elon Lages Lima

288 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
é simétrico.
Uma matriz u ∈ M(n×n;C) chama-se unitária quando u ∗ = u −1 .
Para que isto aconteça basta que u ∗ u = I n , ou que uu ∗ = I n . A primeira
destas igualdades significa que as colunas de u formam uma
base ortonormal de C n (relativamente ao produto interno hermitiano).
A segunda assegura a mesma propriedade para as linhas de
u. As matrizes unitárias reais são as ortogonais.
Feitas essas observações de caráter geral, passemos a tirar proveito
da estrutura complexa.
O determinante e o polinômio característico, como não têm nada
a ver com produto interno, se definem de modo análogo ao caso real.
Segundo o Teorema Fundamental da Álgebra, todo polinômio
p(λ) = a o +a 1 λ+···+a n λ n
com coeficientes complexos a o ,...,a n (em particular, com coeficientes
reais), com a n = (−1) n , se decompõe como produto
p(λ) =
n∏
(λ k −λ)
k=1
de fatores do primeiro grau. Os números complexos λ 1 ,...,λ n , não
necessariamente distintos, são as raízes do polinômio p, cada um
deles comparecendo na listaλ 1 ,...,λ n um número de vezes chamado
sua multiplicidade como raiz do polinômio. A multiplicidade de λ k é
m se, e somente se, m é o maior inteiro tal que p(λ) é divisível por
(λ k −λ) m .
Seja p A (λ) = det(A − λI) o polinômio característico do operador
C-linear A: E → E. O número complexo λ o é uma raiz de p A se, e
somente se, o operador A−λ o I é não-invertível, ou seja, existe v ≠ 0
em E tal que Av = λ o v. Portanto, para espaços vetoriais complexos,
as raízes características de um operador A: E → E coincidem com
os autovalores desse operador. Como as primeiras sempre existem,
segue-se que todo operador C-linear possui autovalores (que podem
ser reais ou complexos).
A existência de autovetores nos espaços vetoriais complexos implica
a seguinte versão fortalecida do Teorema 20.1, da qual decorrerão
todas as conclusões a que chegaremos nesta seção.