lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 19 Determinantes 255
Com efeito, se a = [v 1 ,...,v n ], a igualdade ax = b significa que
b = x 1 v 1 +···+x n v n . Assim, para cada i de 1 até n, tem-se
det a[i;b] = det[v 1 ,...,b,...,v n ]
n∑
= x k det[v 1 ,...,v k ,...,v n ]
k=1
= x i · det[v 1 ,...,v n ]
= x i · det a.
pois, quando k ≠ i, a matriz [v 1 ,...,v k ,...,v n ], com v k na i-ésima
coluna, tem duas colunas iguais a v k , logo seu determinante é zero.
Segue-se então que x i = det a[i;b]/ det a.
Se a e a ′ são matrizes do mesmo operador A em relação a bases
diferentes então a ′ = p −1 ap, onde p é a matriz de passagem de uma
base para a outra. Portanto
det a ′ = (det p) −1 · det a·det p = det a.
O teorema seguinte completa esta observação, mostrando que o
determinante de todas essas matrizes é igual a det A.
Teorema 19.7. O determinante do operador linear A: E → E é igual
ao determinante de uma matriz de A numa base qualquer de E.
Demonstração: Seja a = [a ij ] ∈ M(n × n) a matriz de A numa
base U ⊂ E. Por definição, det a = det A o , onde A o : R n → R n é o
operador cuja matriz na base canônica de R n é a. Seja ϕ: E → R n
o isomorfismo que transforma U na base canônica de R n . Para cada
u j ∈ U, tem-se Au j = ∑ i a iju i , logo
ϕ(Au j ) = ∑ i
a ij ϕ(u i ) = ∑ i
a ij e i = A o e j = A o ϕ(u j ).
Segue-se que ϕ·A = A o·ϕ, ou seja, A o = ϕ·A·ϕ −1 . Portanto, para
cada f ∈ A n (R n ) tem-se
det a·f = A # of = (ϕ # ) −1 A # ϕ # f = (ϕ # ) −1 · det A·ϕ # f =
Assim, det a = det A.
= det A·(ϕ # ) −1 ϕ # f = det A·f.