lgebra Linear, Elon Lages Lima

16 Subespaços Seção 2
com z = (1−α)x+αy ∈ V. Portanto αv ∈ F. Finalmente, se v = y−x
e v ′ = y ′ −x pertencem a F então
z = 1 2 y+ 1 2 y′ ∈ V,
portanto z−x ∈ F. Segue-se daí que a soma
v+v ′ = y+y ′ −2x = 2(z−x)
pertence a F.
Em seguida, mostremos que V = x+F. Com efeito, y ∈ V ⇒ y =
x+(y−x) com y−x ∈ F, logo y ∈ x+F. Assim, V ⊂ x+F. Por outro
lado, um elemento qualquer de x + F tem a forma x + (y − x), com
y ∈ V, logo é igual a y e daí x+F ⊂ V.
Finalmente, se F e F ′ são subespaços vetoriais de E, tais que x+
F = x+F ′ para algum x ∈ E, provemos que se tem F = F ′ . Com efeito,
v ∈ F ⇒ x + v ∈ x + F ⇒ x + v ∈ x + F ′ ⇒ x + v = x + v ′ (v ′ ∈ F ′ ) ⇒
v = v ′ ⇒ v ∈ F ′ . Portanto F ⊂ F ′ . Da mesma forma, vê-se que F ′ ⊂ F,
o que conclui a demonstração.
Exemplo 2.12. Vimos no exemplo 2.8 que o conjunto V das soluções
de um sistema linear de m equações com n incógnitas é uma variedade
afim. Supondo V ≠ ∅, tomemos x 0 ∈ V e chamemos de F
o subespaço vetorial de R n formado pelas soluções do sistema homogêneo
correspondente (descrito no Exemplo 2.4; veja também a
página 27). Tem-se V = x 0 +F. Diz-se então que “todas as soluções
do sistema se obtêm somando uma solução particular com a solução
geral do sistema homogêneo associado”.
Exercícios
2.1. Seja R (∞) o subconjunto de R ∞ formado pelas seqüências v =
(x 1 ,x 2 ,...,x n ,...) que têm apenas um número finito de termos x n
diferentes de zero. Mostre que R (∞) é um subespaço vetorial de R ∞
e que as seqüências que têm um único termo não-nulo constituem
um conjunto de geradores para R (∞) .
2.2. Use o índice deste livro para localizar a definição de matriz
triangular. Mostre que o conjunto F 1 das matrizes triangulares inferiores
e o conjunto F 2 das matrizes triangulares superiores são