lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 20 O Polinômio Característico 275
por A, ou seja, A(F i ) ⊂ F i . Por hipótese, temos p A (λ) = (−1) n (λ −
λ 1 )...(λ−λ n ). Escrevendo B = p A (A), resulta:
B = (−1) n (A−a 11 I)(A−a 22 I)···(A−a nn I)
pois as raízes características de A são os elementos a ii da diagonal
da matriz a. Para cada i = 1,...,n, temos Au i = z + a ii u i , onde
z ∈ F i−1 , portanto (A−a ii I)u i = z ∈ F i−1 . Isto mostra que, para todo
i = 1,...,n, o operador B i = A − a ii I transforma F i em F i−1 . Ora,
temos p A (A) = B = B 1 B 2 ...B n , logo
p A (A) transforma E em {0}, isto é, p A (A) = 0.
Seja λ o um autovalor do operador A: E → E. A multiplicidade
geométrica de λ o é a dimensão do subespaço vetorial F λo = {v ∈
E;Av = λ o v}. A multiplicidade algébrica de λ o é sua multiplicidade
como raiz do polinômio característico de A, isto é, é o maior inteiro
m tal que p A (λ) = (λ o −λ) m ·q(λ), onde q(λ) é ainda um polinômio.
Obviamente, F λo é um subespaço invariante por A. Restrito a
esse subespaço, A coincide com λ o I, ou seja, é simplesmente a multiplicação
por λ o . Portanto, o polinômio característico do operador
A ′ : F λo → F λo , restrição de A, é igual a (λ o −λ) r , onde r é a dimensão
de F λo , ou seja, a multiplicidade geométrica do autovalor λ o . Pelo
Lema que antecede o Teorema 20.1, o polinômio característico de A
é um múltiplo de(λ o −λ) r , ou seja,p A (λ) = (λ o −λ) r q(λ). Isto prova o
Teorema 20.3. A multiplicidade geométrica de um autovalor é menor
do que ou igual à sua multiplicidade algébrica.
Exemplo 20.6. No operador A do Exemplo 20.3, a multiplicidade
algébrica do autovalor1éigual a 2 mas a sua multiplicidade geométrica
é 1.
Teorema 20.4. Se o operador A: E → E é auto-adjunto, ou ortogonal,
as multiplicidades geométrica e algébrica de qualquer autovalor
coincidem.