lgebra Linear, Elon Lages Lima

240 Formas Quadráticas Seção 18
Então, nas coordenadas s i , a equação da quádrica Σ se torna:
λ 1 s 2 1 +···+λ rs 2 r +b ′ r+1 s r+1 +···+b ′ ns n = 0.
No espaço R n−r , a expressão
é o produto interno 〈b,w〉, onde
b ′ r+1 s r+1 +···+b ′ ns n
b = (b ′ r+1 ,...,b′ n) e w = (s r+1 ,...,s n ).
Escolhamos nesse espaço uma base ortonormal cujo primeiro elemento
seja o vetor unitário u = b/|b|. Sejam (t r+1 ,...,t n ) as coordenadas
do vetor w = (s r+1 ,...,s n ) nesta base. Então t r+1 = 〈u,w〉,
logo 〈b,w〉 = |b|t r+1 . Escrevendo t 1 = s 1 ,...,t r = s r , vemos que, nas
novas coordenadas t i a equação da quádrica Σ assume a forma:
λ 1 t 2 1 +···+λ rt 2 r +dt r+1 = 0,
onde d = |b|.
Observemos que todas as mudanças de coordenadas foram feitas
mediante translações e transformações lineares ortogonais (ou,
o que é o mesmo, escolhas de bases ortonormais). Podemos então
concluir que, dada uma quádrica:
Σ :
n∑
a ij x i x j +
i,j=1
n∑
b i x i = c (*)
i=1
em R n , existe uma mudança de coordenadas
x i =
n∑
m ij t j +k i (i = 1,...,n)
j=1
tal que m = [m ij ] é uma matriz ortogonal e, efetuando essa transformação
na equação (*) de Σ, ela se torna
λ 1 t 2 1 +···+λ rt 2 r +dt r+1 = 0, (d ≠ 0)
ou
λ 1 t 2 1 +···+λ rt 2 r = c ′ ,