lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 7 Soma Direta e Projeção 81
7.10. Seja A: E → E um operador linear num espaço vetorial de
dimensão finita. Prove que E = N(A) ⊕ Im(A) se, e somente se,
N(A) = N(A 2 ).
7.11. Suponha que o espaço vetorial de dimensão finita E admita
a decomposição E = F 1 ⊕ ··· ⊕ F k , como soma direta de subespaços
vetoriais. (Vide Exercício 2.33.) Para cada i = 1,...,k, escreva G i =
F 1 ⊕···⊕F i−1 ⊕F i+1 ⊕···⊕F k e chame de P i : E → E a projeção sobre
F i , paralelamente a G i . Prove que P 1 +···+P k = I e P i P j = 0 se i ≠ j.
7.12. Sejam P 1 ,...,P k : E → E operadores lineares tais que
P 1 + ··· + P k = I e P i P j = 0 se i ≠ j. Prove que esses operadores
são projeções.
7.13. Sejam P,Q: E → E projeções. Prove que as seguintes afirmações
são equivalentes:
(a)
P+Q é uma projeção;
(b) PQ+QP = 0;
(c) PQ = QP = 0.
[Para provar que (b) ⇒ (c), multiplique à esquerda, e depois à
direita, por P.]
7.14. Prove que o produto de duas involuções é uma involução se, e
somente se, elas comutam.
7.15. Mostre que os seguintes operadores são involuções e
determine, em cada caso, a projeção correspondente na forma do
Teorema 7.3.
(a)
(b)
S: F(R 2 ;R) → F(R 2 ;R), Sf = f ∗ , f ∗ (x,y) = f(y,x).
U: F(R + ;R) → F(R + ;R), Uf = ^f, ^f(x) = f(1/x).
(c) V: R n → R n , V(x 1 ,...,x n ) = (−x 1 ,...,−x k ,x k+1 ,...,x n ).
7.16. Se o espaço vetorial E tem dimensão finita, prove que para
todo subespaço F ⊂ E existe (pelo menos) um subespaço G ⊂ E tal
que E = F⊕G.