lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 18 Formas Quadráticas 227
O que importa é que ao substituir o índice mudo i por β (bem como
j por α) essa substituição se faça em todos os lugares onde i ocorra
(assim como j) e somente nesses lugares.
Analogamente, uma forma bilinear b: E × E → R chama-se
anti-simétrica quando b(u,v) = −b(v,u) para u,v ∈ E quaisquer.
Para que b seja anti-simétrica é suficiente que se tenha b(u i ,u j ) =
−b(u j ,u i ) ou seja, b ij = −b ji numa base {u 1 ,...,u m } ⊂ E.
Uma forma bilinear b, ao mesmo tempo simétrica e anti-simétrica,
deve ser nula. Este fato, juntamente com a igualdade
b(u,v) = 1 2 [b(u,v)+b(v,u)]+ 1 2 [b(u,v)−b(v,u)],
mostra que o espaço B(E × E) das formas bilineares b: E × E → R
é a soma direta de dois subespaços, um deles formado pelas formas
simétricas e o outro pelas formas anti-simétricas.
Exemplo 18.1. Dados os funcionais lineares f: E → R, g: F → R, a
função b: E × F → R, definida por b(u,v) = f(u)g(v), é uma forma
bilinear, chamada o produto tensorial de f e g. Se E e F são dotados
de produto interno, fixados u o ∈ E e v o ∈ F, a função b: E × F →
R, onde b(u,v) = 〈u,u o 〉 · 〈v,v o 〉, é uma forma bilinear. No caso
particular em que E = F, dados f,g: E → R, funcionais lineares,
então as igualdades
e
(f•g)(u,v) = f(u)g(v)+f(v)g(u)
(f∧g)(u,v) = f(u)g(v)−f(v)g(u),
definem formas bilinearesf•g,f∧g: E×E → R, a primeira simétrica
e a segunda anti-simétrica.
Teorema 18.2. SejaEum espaço vetorial de dimensão finita provido
de produto interno. Para cada forma bilinear b: E×E → R existe um
único operador linear B: E → E tal que
〈u,Bv〉 = b(u,v) para u,v ∈ E quaisquer.
A correspondência b ↦→ B, assim definida, é um isomorfismo entre
os espaços vetoriais B(E × E) e L(E). A forma bilinear b é simétrica
(respect. anti-simétrica) se, e somente se, o operador B é auto-adjunto
(respect. anti-simétrico).