lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 315
com vetor inicial v 0 = (x 0 ,y 0 ), podemos reduzi-lo a uma equação de
segunda ordem, resolver essa equação pelo método que acabamos de
expor e, a partir daí, obter a solução do sistema.
Evidentemente, um dos números a,b,c,d é diferente de zero.
Para fixar idéias, suporemos queb ≠ 0. Se(x k ) e(y k ) são as soluções
do sistema (∗) então
x k+2 = ax k+1 +by k+1
= ax k+1 +bcx k +bdy k
= ax k+1 +bcx k +dx k+1 −adx k ,
logo,
x k+2 −(a+d)x k+1 +(ad−bc)x k = 0. (**)
Para resolver o sistema (∗) com vetor inicial v 0 = (x 0 ,y 0 ), tomamos
a solução (x k ) da equação (∗∗) com os valores iniciais x 0 (dado)
e x 1 = ax 0 + by 0 (com y 0 também dado). Em seguida, definimos a
seqüência (y k ) pondo y k = (x k+1 − ax k )/b. Isto dá imediatamente
x k+1 = ax k + by k . Além disso, o valor y 0 obtido nesta fórmula coincide
com o valor inicial y 0 anteriormente estipulado. Tem-se ainda
y k+1 = 1 b [x k+2 −ax k+1 ]
= 1 b [(a+d)x k+1 +(bc−ad)x k −ax k+1 ]
= 1 b [(a+d)(ax k +by k )+(bc−ad)x k −ax k+1 ].
Simplificando, vem y k+1 = cx k + dy k , logo as seqüências (x k ) e (y k )
formam a solução procurada do sistema (∗).
Exercícios
22.1. Para cada uma das equações abaixo, determine a solução que
tem o valor inicial indicado
(a) x k+1 = x k −7, x o = 0.
(b) x k+1 = 6x k , x o = 1.