lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 18 Formas Quadráticas 239
agora nossas mudanças de coordenadas eram feitas por meio de
transformações lineares, logo preservavam a origem.) Introduzindo
as novas coordenadas
z i = y i + b′ i
2λ i
z r+1 = y r+1 ,
(i = 1,...,r),
.
z n = y n ,
a equação acima se torna
λ 1 z 2 1 +···+λ rz 2 r +b ′ r+1 z r+1 +···+b ′ nz n = c ′ ,
na qual conseguimos eliminar os r primeiros termos lineares.
Pode ocorrer que os coeficientes b ′ j
sejam todos iguais a zero.
Neste caso, a forma simplificada que buscamos para a equação da
quádrica Σ é:
λ 1 z 2 1 +···+λ rz 2 r = c ′ .
Ser = n, Σ é simplesmente a figura que resulta de uma quádrica
central depois de uma translação. Se r < n então as últimas n − r
coordenadas z r+1 ,...,z n podem ser tomadas arbitrariamente, enquanto
as r primeiras definem uma quádrica em R r , logo Σ é um
cilindro generalizado: produto cartesiano Σ = Σ ′ × R n−r onde Σ ′ é
uma quádrica em R r .
Se algum dos números b ′ j
(r+1 ≤ j ≤ n) for ≠ 0, introduziremos
novas coordenadas t 1 ,...,t n de tal modo que t 1 = z 1 ,...,t r = z r e
b ′ r+1 z r+1 +···+b ′ nz n −c ′ = dt r+1 .
Primeiro fazemos uma translação de modo a eliminar c ′ . Para isso
escolhemos um ponto (z o r+1 ,...,zo n) tal que
e escrevemos
b ′ r+1 zo r+1 +···+b′ nz o n = c ′
s 1 = z 1 ,...,s r = z r , s r+1 = z r+1 −z o r+1 ,...,s n = z n −z o n.