lgebra Linear, Elon Lages Lima

180 Operadores Ortogonais Seção 14
de F 2 obtém-se uma base ortonormal de E em relação à qual a matriz
de S é diagonal, com a diagonal da forma (1,...,1,−1,...,−1).
O operador S é uma reflexão ortogonal. O leitor pode verificar sem
dificuldade que duas quaisquer das seguintes propriedades de um
operador linear S: E → E implicam a terceira: (a) SS = I; (b) S ∗ = S;
(c) S ∗ = S −1 .
Em seguida, examinaremos como pode ser um operador ortogonal
A: E → E num espaço vetorial de dimensão 2, dotado de um
produto interno.
Segundo a natureza dos autovalores de A, há quatro possibilidades:
(1)Apossui um único autovalor, o qual é igual a1. Neste caso,A = I.
Com efeito, sejau ∈ E um vetor unitário tal queAu = u. Sev ∈ E
é outro vetor unitário, perpendicular a u, então Av também é um
vetor unitário perpendicular a u, pelo Teorema 14.2, logo Av = ±v.
Como A não admite o autovalor −1, deve ser Av = v. Mas {u,v} ⊂ E
é uma base, portanto A = I.
(2) A possui um único autovalor, o qual é igual a −1. Então A = −I.
O raciocínio é inteiramente análogo ao anterior.
(3)Aadmite os autovalores1e−1. Então tomamos vetores unitários
u,v ∈ E com Au = u e Av = −v, logo {u,v} ⊂ E é uma base ortonormal,
relativamente à qual a matriz de A é
[ ] 1 0
.
0 −1
Neste caso, A é a reflexão ortogonal em torno do eixo que contém o
vetor u.
(4) A não possui autovalores (reais).
Então tomamos uma base ortonormal arbitrária {u,v} ⊂ E. A
matriz de A nesta base, sendo ortogonal 2×2 sem autovalores, tem,
segundo o Exemplo 14.2, a forma
[ ]
cos θ − sen θ
a = .
sen θ cos θ
Somos tentados a dizer que, neste caso, o operador A: E → E é a
rotação de ângulo θ. Mas para isso é necessário verificar se θ não