lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 17 Tópicos Matriciais 207
invertível, logo sobrejetiva. Se fosse t ii = 〈e i ,Te i 〉 = 0, teríamos,
como acabamos de ver, para todo v = x 1 e 1 +···+x i e i ∈ F i , 〈e i ,Tv〉 =
x i t ii = 0, logo Tv ∈ F i−1 . Isto significa que T(F i ) ⊂ F i−1 , contradizendo
a sobrejetividade de T: F i → F i . Portanto todos os t ii são diferentes
de zero.
Se a matriz triangular superior t é invertível, o operador linear
T: R n → R n também é. Cada um dos subespaços F i = S(e 1 ,...,e i ) ⊂
R n sendo invariante porT é também invariante porT −1 . (Com efeito,
A(F) ⊂ F ⇒ A(F) = F ⇒ A −1 (F) = F.) Logo a matriz t −1 , do
operador T −1 , é também triangular superior. Escrevendo t −1 = [s ij ],
a igualdade t −1 t = I n nos dá, para cada i = 1,...,n:
1 = (t −1 t) ii =
n∑
s ik t ki = s ii t ii ,
k=1
pois s ik = 0 se i > k e t ki = 0 se k > i. Logo s ii = 1/t ii .
3) Os autovalores de uma matriz triangular superior t = [t ij ] ∈
M(n×n) são os elementos t ii da sua diagonal.
Por definição, os autovalores de t são aqueles do operador
T: R n → R n cuja matriz na base canônica é t.
Em primeiro lugar, se λ é um autovalor de t, isto é, se existe
n ≠ 0 em R n tal que Tv = λ·v, seja v = x 1 e 1 +···+x r e r , com x r ≠ 0.
Então, como 〈e r ,Te i 〉 = 0 se i < r, temos
λx r = 〈e r ,λv〉 = 〈e r ,Tv〉
= 〈e r ,x 1 Te 1 +···+x r Te r 〉
= 〈e r ,x r Te r 〉 = t rr x r .
Segue-se que λ = t rr . Assim, somente os números t ii podem ser
autovalores de T.
Em segundo lugar, todos ost ii são, de fato, autovalores de t. Com
efeito, a matriz t − t ii I n é triangular superior e o i-ésimo elemento
de sua diagonal é zero, logo não é invertível. Conseqüentemente, t ii
é um autovalor de t.
4) Seja U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base ortonormal, obtida pelo processo
de Gram-Schmidt a partir da base V = {v 1 ,...,v n } ⊂ E. A
matriz de passagem de V para U é triangular superior e seus autovalores
são todos positivos.