lgebra Linear, Elon Lages Lima

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Soma Direta e Projeção
Esta seção trata da decomposição de um espaço vetorial como soma
de subespaços independentes, mostra que essa decomposição equivale
a definir um operador idempotente no espaço e estabelece a conexão
entre projeções e involuções, ou simetrias.
Na Seção 2, vimos que seF 1 eF 2 são subespaços do espaço vetorial
E, o subespaço vetorial de E gerado pela reunião F 1 ∪F 2 é o conjunto
F 1 + F 2 de todas as somas u + v, onde u ∈ F 1 e v ∈ F 2 . No caso
particular em que F 1 ∩F 2 = {0}, escreve-se F 1 ⊕F 2 em vez de F 1 +F 2 ,
diz-se que F 1 ⊕F 2 é a soma direta de F 1 com F 2 e prova-se (Teorema
2.1) que a condição F 1 ∩F 2 = {0} equivale a dizer que u+v = u ′ +v ′ ,
com u,u ′ ∈ F 1 e v,v ′ ∈ F 2 , implica u = u ′ e v = v ′ .
Existe uma noção análoga à de soma direta, que é o produto cartesiano
E 1 × E 2 de dois espaços vetoriais E 1 e E 2 . Aqui E 1 e E 2 não
precisam ser subespaços vetoriais do mesmo espaço E. Os elementos
do conjunto E 1 × E 2 são os pares ordenados (u,v), onde u ∈ E 1
e v ∈ E 2 . As operações que tornam E 1 × E 2 um espaço vetorial são
definidas por
(u,v)+(u ′ ,v ′ ) = (u+u ′ ,v+v ′ ), α(u,v) = (αu,αv),
para quaisquer u,u ′ ∈ E 1 , v,v ′ ∈ E 2 e α ∈ R. O vetor nulo de
E 1 × E 2 é o par (0,0) e o inverso aditivo de (u,v) é (−u,−v). Se