lgebra Linear, Elon Lages Lima

106 Eliminação Seção 9
9.C. Resolução de sistemas lineares
O método de eliminação, embora simples e ingênuo, é a maneira
mais eficaz de resolver um sistema de m equações lineares, com n
incógnitas, apresentado sob a forma matricial ax = b, onde a ∈
M(m×n), x ∈ M(n×1) e b ∈ M(m×1).
Resulta das noções gerais até aqui estudadas que o sistema ax =
b possui solução se, e somente se, o vetor b ∈ R m , correspondente à
matriz b, pertence à imagem da transformação linear A: R n → R m
cuja matriz (nas bases canônicas de R n e R m ) é a.
Dito de outra maneira, o sistema ax = b possui solução se, e
somente se, o vetor b ∈ R m (correspondente à matriz b) pertence
ao subespaço gerado pelas colunas de a. Isto equivale a dizer que a
matriz aumentada [a; b] ∈ M(m×(n+1)) tem o mesmo posto que a
matriz a do sistema.
Uma afirmação mais completa é a seguinte: o sistema Ax = b
não possui solução quando b /∈ Im(A), possui uma única solução
quando b ∈ Im(A) e A é injetiva, e possui infinitas soluções quando
b ∈ Im(A) e A não é injetiva. (Vide Teorema 6.4.)
Em termos matriciais, o sistema ax = b, com a ∈ M(m × n),
x ∈ M(n×1) e b ∈ M(m×1), admite as seguintes alternativas:
(1) Não possui solução quando o posto da matriz aumentada [a; b] é
maior do que o posto de a;
(2) Possui uma única solução quando a matriz a e a matriz aumentada
[a; b] têm o mesmo posto, igual ao número n de incógnitas;
(3) possui infinitas soluções quando se tem posto [a; b] = posto a =
r < n. Neste caso, o conjunto das soluções é uma variedade afim de
dimensão n−r.
O que acabamos de dizer é mais ou menos um resumo do que
já vimos antes. Trata-se de uma discussão esclarecedora do ponto
de vista teórico mas que não ensina como reconhecer, na prática,
em qual dos casos se enquadra um sistema dado e muito menos
como obter suas soluções, caso existam. Isto se faz com o método
de eliminação, escalonando a matriz aumentada do sistema.
O processo de eliminação se baseia na observação de que ao efetuar
uma operação elementar sobre as linhas da matriz aumentada
[a; b] obtém-se uma matriz [a ′ ; b ′ ] que é a matriz aumentada de um
sistema a ′ x = b ′ , equivalente ao sistema original ax = b. (Dois sis-