lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 10 Produto Interno 127
Seja {u 1 ,...,u n } ⊂ E uma base ortonormal. Para todo vetor v ∈ E
tem-se
n∑
v = 〈u i ,v〉·u i .
i=1
Com efeito, v se exprime como combinação linear
v = α 1 u 1 +···+α n u n
em termos da base dada. Tomando o produto interno de ambos os
membros desta igualdade por u i , temos 〈u i ,v〉 = α i (i = 1,...,n)
pois 〈u i ,u j 〉 = δ ij (= 1 se i = j e = 0 se i ≠ j).
Assim, as coordenadas de um vetor relativamente a uma base
ortonormal são os produtos internos desse vetor pelos elementos daquela
base.
Se u = Σα i u i e v = Σβ j u j são as expressões dos vetores u,v ∈
E em termos de uma base ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂ E, as relações
〈u i ,u j 〉 = δ ij implicam imediatamente que
〈 n
〉
∑ n∑ n∑ n∑
〈u,v〉 = α i u i , β j u j = α i β j 〈u i ,u j 〉 = α i β i .
i=1
j=1
i,j=1
Portanto, quando se referem os vetores de E a uma base ortonormal
fixada, o produto interno assume a forma 〈u,v〉 = Σα i β i , análoga à
do produto interno canônico de R n .
Tomando, mais geralmente, uma base arbitrária {v 1 ,...,v n } ⊂ E
e pondo 〈v i ,v j 〉 = g ij , o produto interno dos vetores
n∑ n∑
u = α i v i e v = β j v j
se exprime como
i=1
〈u,v〉 =
j=1
i=1
n∑
g ij α i β j . (*)
i,j=1
A matriz g = [g ij ] ∈ M(n × n) é simétrica, isto é, g ij = g ji pois
〈v i ,v j 〉 = 〈v j ,v i 〉. Mais ainda: a matriz g é positiva. Isto significa
que, além de g ser simétrica, para qualquer lista (x 1 ,...,x n ) de n
números reais não todos nulos, tem-se
n∑
g ij x i x j > 0.
i,j=1