lgebra Linear, Elon Lages Lima

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O Polinômio Característico
Boa parte da importância dos determinantes em Álgebra Linear se
deve ao polinômio característico, o qual já tivemos ocasião de utilizar
em dimensão 2. Nesta seção, já de posse da noção geral de determinante,
vamos considerar esse polinômio em dimensões arbitrárias.
Seja A: E → E um operador linear num espaço vetorial E, de
dimensão finita. A fim de que um número realλseja autovalor deA,
é necessário e suficiente que exista v ≠ 0 em E tal que (A−λI)v = 0,
ou seja, que o operador A − λI: E → E tenha núcleo não-trivial e
portanto não seja invertível. Segundo o Teorema 19.6, isto acontece
se, e somente se, det(A−λI) = 0.
Conforme resulta da definição clássica de determinante,
det(A−λI) é um polinômio de graunemλ, cujo termo líder é(−1) n λ n .
Ele é chamado o polinômio característico do operadorAeérepresentado
por p A (λ). Assim,
p A (λ) = det(A−λI).
As raízes (reais ou complexas) da equação algébrica p A (λ) = 0 são
chamadas as raízes características do operador A. Do que foi dito
acima, segue-se que os autovalores do operador linear A são suas
raízes características reais.