lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 9 Eliminação 109
ou
A última matriz obtida é a matriz aumentada do sistema:
x + 2y + 3z + 4t = 1
− 4y − 8z − 12t = −3
x + 2y = −3z − 4t + 1
− 4y = 8z + 12t − 3.
Este sistema pode ser resolvido de baixo para cima (esquecendo que
z e t são incógnitas) e nos dá a solução:
y = −2z−3t+ 3 4 , x = z+2t− 1 2 . (*)
O sistema dado possui portanto uma infinidade de soluções, que podem
ser obtidas atribuindo-se valores arbitrários a z e t e calculando
x e y em função delas por meio destas duas últimas igualdades.
Observe que as igualdades (*) são as equações da variedade
afim de dimensão 2 no espaço R 4 , formada por todas as soluções do
sistema dado. Escrevendo o sistema original sob a forma Av = b,
onde A: R 4 → R 3 é a transformação linear cuja matriz tem as linhas
(1,2,3,4), (5,6,7,8), (9,10,11,12) e b = (1,2,3), esta variedade afim,
formada por todos os vetores
v = (z+2t− 1 2 ,−2z−3t+ 3 4 ,z,t) ∈ R4 ,
onde z, t são números reais arbitrários, é o conjunto de todos os
vetores v ∈ R 4 tais que Av = b.
Observação: O conjunto F = {(z + 2t,−2z − 3t,z,t) ∈ R 4 ;z,t ∈
R} é um subespaço vetorial de R 4 , núcleo da transformação linear
A: R 4 → R 3 acima considerada. Uma base de F é formada pelos vetoresw
1 = (1,−2,1,0) ew 2 = (2,−3,0,1), obtidos fazendoz = 1,t = 0
e depois z = 0, t = 1 na expressão dos vetores de F. De um modo geral,
para obter uma base para o núcleo de um operador A: R n → R m
o que se tem a fazer é resolver por escalonamento o sistema Ax = 0.
Exemplo 9.9. Achar uma base para o núcleo da transformação linear
A: R 5 → R 3 cuja matriz (nas bases canônicas) é
⎡ ⎤
1 2 3 1 2
a = ⎣3 4 5 3 4⎦ .
1 0 −1 1 0