lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 8 A Matriz de uma Transformação Linear 87
o custo é a perda da intuição geométrica, da simplicidade conceitual,
além da impossibilidade de se tratar o caso de dimensão infinita.
A definição do produto de matrizes foi formulada de modo a tornar
verdadeiro o teorema seguinte. Nele, A: E → F e B: F → G são
transformações lineares, U = {u 1 ,...,u p } ⊂ E, V = {v 1 ,...,v n } ⊂ F e
W = {w 1 ,...,w m } ⊂ G são bases, a ∈ M(n×p) é a matriz de A nas
bases U, V e b ∈ M(m×n) é a matriz de B nas bases V, W.
Teorema 8.1. A matriz de BA: E → G nas bases U, W é o produto
ba ∈ M(m×p) das matrizes b e a.
Demonstração: Por definição, temos
e
Au j =
Bv k =
n∑
a kj v k (j = 1,...,p)
k=1
m∑
b ik w i (k = 1,...,n).
i=1
Seja c = [c ij ] ∈ M(m × p) a matriz de BA nas bases U, W. Por
definição, para cada j = 1,...,p, temos:
(
m∑
n
)
∑
c ij w i = BAu j = B a kj v k =
i=1
=
k=1
(
m∑ n
)
∑
a kj b ik w i =
k=1
i=1
n∑
a kj Bv k =
k=1
n∑
[
∑ m
b ik a kj
]w i .
Igualando os coeficientes de cada w i , concluímos que, para i=1,...,m
e j = 1,...,p, tem-se
n∑
c ij = b ik a kj ,
logo c = ba.
k=1
Resulta imediatamente do teorema acima e do isomorfismo
ϕ: L(E;F) → M(m × n) que as regras operacionais do produto de
transformações lineares se transferem diretamente para o produto
de matrizes. No que se segue, indicaremos com o símbolo I n a matriz
i=1
k=1