lgebra Linear, Elon Lages Lima

124 Produto Interno Seção 10
Como se trata de números não-negativos, para provar esta desigualdade
basta mostrar que |u+v| 2 ≤ (|u|+|v|) 2 . Ora,
|u+v| 2 = 〈u+v,u+v〉
= |u| 2 +|v| 2 +2〈u,v〉
≤ |u| 2 +|v| 2 +2|u||v|
= (|u|+|v|) 2 ,
pois 〈u,v〉 ≤ |u||v| pela desigualdade de Schwarz.
Vale a igualdade|u+v| = |u|+|v| somente quando um dos vetores
u, v é um múltiplo não-negativo do outro. Com efeito, pelo argumento
acima, |u + v| = |u| + |v| ocorre quando 〈u,v〉 = |u||v|, o que
é óbvio quando u = 0 e implica v = αu quando u ≠ 0. Neste caso,
|u||v| = 〈u,v〉 = α〈u,u〉 = α|u| 2 , logo α ≥ 0.
Além da desigualdade triangular, a norma goza ainda das seguintes
propriedades, de imediata verificação:
Em particular, |−u| = |u|.
|u| > 0 se u ≠ 0 e |α·u| = |α||u|.
Observação. Em todo este livro, |α| significa o valor absoluto do
número α e |u| representa também a norma do vetor u.
Num espaço vetorial E munido de produto interno, a distância
entre os vetores u, v é, por definição, d(u,v) = |u − v|. Tem-se
d(u,u) = 0, d(u,v) > 0 se u ≠ v, d(u,v) = d(v,u) e d(u,w) ≤
d(u,v)+d(v,w).
Mostraremos agora que existem bases ortonormais em todo espaço
vetorial de dimensão finita provido de um produto interno.
Mais precisamente, exporemos o processo de ortonormalização
de Gram-Schmidt, um algoritmo que ensina a passar de uma base
qualquer {v 1 ,...,v n } ⊂ E para uma base ortonormal {u 1 ,...,u n } ⊂ E,
com a importante propriedade de que, para m = 1,...,n, os vetores
u 1 ,...,u m pertencem ao subespaço F m , gerado por v 1 ,...,v m .
Dada a base {v 1 ,...,v n } ⊂ E, obteremos primeiro uma base ortogonal
{w 1 ,...,w n } ⊂ E e depois poremos u 1 = w 1 /|w 1 |,...,u n =
w n /|w n | para chegar à base ortonormalizada {u 1 ,...,u n } ⊂ E.
Começamos o processo tomando w 1 = v 1 e prosseguimos por
indução. Suponhamos já obtidos os vetores não-nulos w 1 ,...,w m ,