lgebra Linear, Elon Lages Lima

212 Tópicos Matriciais Seção 17
17.F A Decomposição lu
Cada uma das três operações elementares sobre as linhas de uma
matriz, introduzidas na Seção 9, pode ser interpretada como a multiplicação
à esquerda por uma matriz invertível de tipo especial, chamada
uma matriz elementar.
Mais precisamente, uma matriz elementar m×m é uma matriz
que resulta da aplicação de uma operação elementar à matriz identidade
I m . Há portanto 3 tipos de matrizes elementares. Vejamos
alguns exemplos no caso 4×4:
⎡ ⎤
0 0 1 0
⎢0 1 0 0
⎥
⎣1 0 0 0⎦ ,
0 0 0 1
⎡ ⎤
1 0 0 0
⎢0 1 0 0
⎥
⎣0 0 1 0⎦ ,
α 0 0 1
⎡ ⎤
1 0 0 0
⎢0 α 0 0
⎥
⎣0 0 1 0⎦ .
0 0 0 1
As matrizes acima se obtêm a partir de I 4 mediante as operações
L 1 ↔ L 3 , L 4 +αL 1 e αL 2 respectivamente.
Afirmamos que aplicar uma operação elementar a uma matriz
com m linhas é o mesmo que multiplicá-la à esquerda pela matriz
que resulta de aplicar a mesma operação às linhas de I m .
Isto decorre da seguinte observação (cuja verificação deixamos
a cargo do leitor): se a ↦→ a ′ simboliza uma determinada operação
elementar sobre matrizes com m linhas então, para toda b ∈ M(m×
m), tem-se (ba) ′ = b ′ · a. Admitido este fato, tomamos m = I ′ m e
vemos que, para toda matriz a com m linhas, vale
a ′ = (I m · a) ′ = I ′ m · a = m·a.
Portanto o método de eliminação de Gauss para reduzir uma matriz
de m linhas à forma escalonada consiste em multiplicá-la sucessivamente
à esquerda por matrizes elementares do tipo 1 (transposição
de duas linhas) ou do tipo 2 (subtrair de uma linha um múltiplo
de outra linha). Uma matriz elementar do tipo 2, que corresponda à