lgebra Linear, Elon Lages Lima

92 A Matriz de uma Transformação Linear Seção 8
Demonstração: Seja p o posto segundo colunas da matriz a =
[a ij ] ∈ M(m×n). Então existem p vetores w k = (b 1k ,...,b mk ) ∈ R m
tais que cada uma das colunas v j = (a 1j ,...,a mj ), 1 ≤ j ≤ n, é
combinação linear de w 1 ,...,w p :
v j =
p∑
c kj w k , 1 ≤ j ≤ n. (*)
k=1
Tomando a i-ésima coordenada de cada um dos membros de (*), vemos
que
p∑ p∑
a ij = c kj b ik = b ik c kj , (**)
k=1
para quaisquer i, j, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Considerando agora
os vetores-linha u i = (a i1 ,...,a in ) da matriz a, juntamente com os
vetores z k = (c k1 ,...,c kn ), 1 ≤ k ≤ p, observamos que a igualdade
entre o primeiro e o terceiro membro de (**) significa que, para todo
i = 1,...,m tem-se
u i =
k=1
p∑
b ik z k , 1 ≤ i ≤ m.
k=1
Assim, os vetores-linha de a são combinações lineares de z 1 ,...,z p ,
portanto o posto de a segundo linhas é≤ p. Aplicando este resultado
à matriz a T (chamada a transposta de a), que tem como linhas as
colunas de a e como colunas as linhas de a, concluímos que o posto
de a segundo colunas é menor do que ou igual ao posto segundo
linhas. Isto conclui a demonstração.
Podemos então definir o posto de uma matriz como o número
máximo de linhas, ou de colunas, L.I. dessa matriz. Mesmo quando
a matriz é quadrada (em cujo caso suas linhas e colunas pertencem
ao mesmo espaço R n ) os subespaços gerados pelas linhas e pelas
colunas, respectivamente, podem ser diferentes mas têm a mesma
dimensão.
Exemplo 8.5 (Uma aplicação do Teorema 8.2.) Sejam f 1 ,...,f m :E →
R funcionais lineares não-nulos no espaço vetorial E, de dimensão
n. Vimos no Exemplo 6.10 que, para cada i = 1,...,m, o núcleo de
f i é o subespaço vetorial, de dimensão n − 1, H i = {v ∈ E;f i (v) = 0}