lgebra Linear, Elon Lages Lima

274 O Polinômio Característico Seção 20
obtido de p(λ) substituindo-se λ i por A i , tendo o cuidado de lembrar
que A o = I, logo λ o = 1 deve ser substituído por I.
Um resultado importante em Álgebra Linear é o Teorema de
Cayley-Hamilton, segundo o qual, se p = p A é o polinômio característico
do operador A então p(A) = 0. Verifiquemos a veracidade
desta afirmação num caso particular.
Exemplo 20.5. Seja A: R 2 → R 2 dado por
O polinômio característico de A é
Vamos mostrar que o operador
A(x,y) = (ax+by,cx+dy).
p A (λ) = λ 2 −(a+d)λ+(ad−bc).
B = p A (A) = A 2 −(a+d)A+(ad−bc)I
é igual a zero. Para isto, basta verificar que Be 1 = Be 2 = 0. Ora,
temos Ae 1 = (a,c), A 2 e 1 = (a 2 +bc,ac+cd), e 1 = (1,0), logo
Be 1 = A 2 e 1 −(a+d)Ae 1 +(ad−bc)e 1
= (a 2 +bc,ac+cd)−(a 2 +ad,ac+cd)+(ad−bc,0)
= (0,0).
De maneira análoga se vê que Be 2 = 0. Portanto B = 0. Isto mostra
que o Teorema de Cayley-Hamilton vale em dimensão 2.
Provaremos, a seguir, o Teorema de Cayley-Hamilton para operadores
triangularizáveis. Na próxima seção mostraremos que, num
espaço vetorial complexo, todo operador é triangularizável. Daí deduziremos
a validez do teorema para qualquer operador num espaço
real.
Teorema 20.2. Se o polinômio característico p A do operador
A: E→E é o produto de fatores reais do primeiro grau entãop A (A)=0.
Demonstração: Pelo Teorema 20.1 existe uma base{u 1 ,...,u n } ⊂ E
relativamente à qual a matriz a = [a ij ] de A é triangular superior.
Se escrevermos F o = {0} e F i = subespaço vetorial de E gerado por
u 1 ,...,u i , teremos F o ⊂ F 1 ⊂ ··· ⊂ F n = E e cada F i é invariante