lgebra Linear, Elon Lages Lima

296 Espaços Vetoriais Complexos Seção 21
21.12. Sem fazer cálculo algum, conclua que o produto de duas matrizes
2n×2n do tipo
[ ] a −b
é ainda deste mesmo tipo.
21.13. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
b
( ) O determinante de um operador hermitiano é um número real.
( ) Os autovalores de um operador unitário são iguais a ±1.
( ) Os autovalores de um operador real anti-simétrico são do tipo
±iβ, onde β é real.
a
( ) Se
a =
[ ]
cos θ − sen θ
,
sen θ cos θ
existe uma matriz (complexa)2×2 invertível p tal que p −1 ap =
d, onde d é diagonal (complexa).
21.14. Prove que todo operador num espaço vetorial (complexo) de
dimensão n possui um subespaço invariante de dimensão n−1.
21.15. Sejam λ 1 ,...,λ n os autovalores do operador A: E → E
(repetidos de acordo com suas multiplicidades algébricas). Dado um
polinômio qualquer p(λ), prove que os autovalores do operador p(A)
são os números p(λ 1 ),...,p(λ n ). [Sugestão: Teorema 21.3.]
21.16. Prove que as seguintes afirmações acerca dos operadores lineares
A,B: E → E são equivalentes:
(a) p A (B) é invertível. (Onde p A é o polinômio característico de A.)
(b) A e B não têm autovalores em comum.
(c) p B (A) é invertível.
(d) Se m A e m B são os polinômios mínimos de A e B então m A (B)
e m B (A) são invertíveis. [Sugestão: use o exercício anterior.]