lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 15 Operadores Normais (Caso Real) 193
15.4. Sejam u 1 ,...,u n as linhas e v 1 ,...,v n as colunas de uma matriz
a. Prove que 〈u i ,u j 〉 = 〈v i ,v j 〉 para quaisquer i,j ⇔ a é normal.
15.5. Prove que uma projeção P: E → E é um operador normal se, e
somente se, P = P ∗ . Resultado análogo para uma involução.
15.6. Seja A: E → E um operador normal. Prove que N(A) = N(A ∗ )
e conclua que N(A) ⊥ = Im(A) = Im(A ∗ ).
15.7. Entre as matrizes abaixo, determine quais são normais.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
9 −3 −6 1 2 3 1 0 0
a = ⎣3 9 6 ⎦ b = ⎣3 2 2⎦ c = ⎣0 −1 2 ⎦
6 −6 9 2 3 5 0 −2 −1
15.8. Sejam A,B: E → E operadores normais. Supondo AB = 0,
prove:
(a) A imagem de B está contida no núcleo de A;
(b ) A imagem de B ∗ está contida no núcleo de A ∗ ;
(c) A imagem de A está contida no núcleo de B.
Conclua então que BA = 0.
15.9. SeA,B: E → E são normais eAB = BA, prove queAB é normal.
15.10. Dê exemplos de operadores normais A, B tais que A+B não
é normal e AB não é normal. Dê também um exemplo em que AB é
normal mas AB ≠ BA.
15.11. Seja A: E → E um operador linear no espaço E, de dimensão
finita, com produto interno. Supondo I+A e I−A invertíveis, defina
S = (I + A)(I − A) −1 . Prove que S é ortogonal se, e somente se, A é
anti-simétrico.
15.12. Seja o operador A: R 3 → R 3 dado por A(x,y,z) = (y+2z,−x+
3z,−2x − 3y). Escreva sua matriz na base canônica e veja que A é
anti-simétrico. Por escalonamento, ache um vetor u ∈ R 3 que é uma
base de N(A). Obtenha ainda uma base {v,w} ⊂ N(A) ⊥ e escreva a
matriz de A na base {u,v,w} ⊂ R 3 .