lgebra Linear, Elon Lages Lima

194 Operadores Normais (Caso Real) Seção 15
15.13. Seja A: R 4 → R 4 o operador linear definido por
A(x,y,z,t) = (y−z+t,−x−z+2t,x+y−t,−x−2y+z).
Mostre que A é anti-simétrico. Ache bases ortonormais
{u,v} ⊂ N(A) e {u ′ ,v ′ } ⊂ N(A) ⊥ . Determine a matriz de A na base
{u,v,u ′ ,v ′ } ⊂ R 4 .
15.14. Se o operador A: E → E é anti-simétrico, prove que todo vetor
v ∈ E é perpendicular à sua imagem Av. Se E = R 2 , prove que A é
um múltiplo αR da rotação de 90 ◦ R: R 2 → R 2 .
15.15. Seja
⎡ ⎤
0 c −b
a = ⎣−c 0 a ⎦
b −a 0
a matriz do operador A: R 3 → R 3 . Mostre que, para todo v ∈ R 3
tem-se Av = v×w, onde w = (a,b,c).
15.16. Seja A: E → E um operador normal. Se Au = λu e Av = µv
com λ ≠ µ, prove que 〈u,v〉 = 0.
15.17. Sejam [ u 1 ],...,u n os vetores-linha e v 1 ,...,v n os vetores-coluna
a b
da matriz , onde a ∈ M(p×p). Se |u
0 c
i | = |v i | para i = 1,...,n,
prove que b = 0 ∈ M(p×(n−p)).
15.18. Se um subespaço F ⊂ E é invariante pelo operador normal
A: E → E, prove que F também é invariante por A ∗ e que o complemento
ortogonal F ⊥ é ainda invariante por A e A ∗ .
15.19. Seja F ⊂ E um subespaço invariante pelo operador normal
A: E → E. Prove que a restrição de A ao subespaço F é ainda um
operador normal.