lgebra Linear, Elon Lages Lima

278 O Polinômio Característico Seção 20
20.9. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Se um operador é diagonalizável, todas as suas matrizes triangulares
são diagonais.
( ) Seja a uma matriz triangular não-diagonal. Se todos os elementos
da diagonal de a forem iguais, a não é diagonalizável.
( ) Uma matriz 3×3 que tem dois autovalores distintos é triangularizável.
20.10. Sejam A,B: E → E operadores cujas raízes características
são todas reais. Se AB = BA, prove que existe uma base na qual as
matrizes de A e B são ambas triangulares.
20.11. Ache uma base de R 3 na qual o operador A(x,y,z) = (x+2y+
3z,4y+6z,−y−z) tem uma matriz triangular. Exiba essa matriz.
20.12. Determine o polinômio caracterítico da matriz
⎡
⎤
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
⎢ . . . . .
⎥
⎣ 0 0 0 ... 1 ⎦
a n−1 a n−2 a n−3 ... a o
20.13. Obtenha o polinômio característico e os autovalores (com as
respectivas multiplicidades, algébricas e geométricas) do operador
A: R n → R n cuja matriz na base canônica tem todos os elementos
iguais a 1.
[Sugestão: use o Exercício 20.3.]
20.14. Prove que o módulo do determinante de um operador invertível
é igual ao produto dos seus valores singulares.
20.15. Sejam A,B: E → E operadores lineares não-negativos e X a
raiz quadrada não-negativa de A. Prove:
(a) AB e XBX têm o mesmo polinômio característico,
det(I+AB) = det(I+XBX).
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