lgebra Linear, Elon Lages Lima

214 Tópicos Matriciais Seção 17
Suponhamos que, durante o processo de escalonamento de uma
dada matriz, nunca haja necessidade de se efetuar transposição de
linhas. Então podemos assegurar que existem matrizes m 1 ,...,m m
do tipo (*) acima, tais que
m m ...m 2 m 1 a = u,
onde u é uma matriz escalonada. Se a for uma matriz quadrada,
u é triangular superior. (Daí a notação: u provém de upper triangular,
em inglês.) Se u = [u ij ] ∈ M(m × n) (além de não requerer
transposições de linha em seu escalonamento) tem posto máximo (m
ou n) então o primeiro elemento não-nulo de sua i-ésima linha é u ii .
Portanto, neste caso, os elementos u ii da diagonal de u são os pivôs,
logo são diferentes de zero.
Evidentemente, toda matriz elementar é invertível, logo toda
matriz m j do tipo (*) acima possui uma inversa e é claro que
m −1
j
=
⎡
1
⎢
⎣
⎤
. .. 1
α j+1,j
.
. ..
⎥
⎦
α mj 1
Segue-se então que toda matriz a cujo escalonamento não requer
transposições de linhas se escreve como
a = m −1
1 m−1 2
...m −1
m u = lu
onde as m j têm a forma (*) e u é escalonada.
Agora ocorre um fato notável. Embora o produto m m ...m 2 m 1
não tenha nenhuma expressão especial, vale a igualdade
l = m −1
1 m−1 2
...m −1
m =
⎡
⎤
1
α 21 1
. α 31 α ..
32 ,
⎢
⎥
⎣ . . 1 ⎦
α m1 α m2 α m,m−1 1