lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 22 Equações a Diferenças Finitas 309
22.B. Uma Aplicação do Teorema de Cayley-Hamilton
Uma forma alternativa de calcular as potências sucessivas A k do
operador linear A: E → E com dim E = n, consiste em observar
que, em conseqüência do Teorema de Cayley-Hamilton, basta que se
considerem os expoentes k ≤ n−1. Com efeito, se
p A (λ) = (−1) n λ n +a n−1 λ n−1 +···+a 1 λ+a o
é o polinômio característico do operador linear A, segue-se de
p A (A) = 0 que
A n = ±(a n−1 A n−1 +···+a 1 A+a o I).
Usaremos este fato para calcular as potênciasA k de um operador
linearA: E → E, onde dim E = 2. Neste caso, o grau do polinômio característico
p A (λ) sendo igual a 2, segue-se que o resto da divisão de
λ k por p A (λ), para todo k ≥ 2, tem a forma αλ+β. (Por simplicidade,
escrevemos α, β em vez de α k , β k .) Podemos portanto escrever
donde
λ k = p A (λ)·q(λ)+αλ+β,
A k = p A (A)·q(A)+αA+βI.
Como p A (A) = 0, segue-se que A k = αA+βI.
Para encontrar α e β, suponhamos inicialmente que as raízes
características λ 1 e λ 2 sejam distintas. Por definição, temos p A (λ 1 ) =
p A (λ 2 ) = 0 logo da identidade λ k = p A (λ)·q(λ)+αλ+β resultam as
igualdades:
αλ 1 +β = λ k 1
αλ 2 +β = λ k 2 .
Como estamos supondo λ 1 ≠ λ 2 , temos acima um sistema determinado,
que nos permite obter valores únicos para α e β. Observe
que este argumento vale, inclusive, quando as raízes características
λ 1 e λ 2 são números complexos. Neste caso, usa-se a forma trigonométrica
para calcular as potências λ k 1 e λk 2
e vê-se que as soluções
α, β do sistema acima são números reais.
Consideremos agora o caso em que o polinômio característico
p A (λ) do operador linear A possui uma raiz (real) dupla λ 1 . Então