lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 13 Operadores Auto-Adjuntos 169
13.12. Se A ∗ A = −A, prove que os autovalores de A pertencem ao
conjunto {0,−1}. Dê exemplo de uma matriz a ∈ M(2 × 2), tal que
a 11 = − 1 3 e aT a = −a. Quantas dessas matrizes existem?
13.13. Seja A: E → E auto-adjunto. Para todo k ∈ N ímpar, mostre
que existe um único operador auto-adjunto X: E → E tal que X k = A.
Seképar, existeXauto-adjunto comX k = A se, e somente se, A ≥ 0.
Neste caso, X pode ser escolhido ≥ 0 e então é único.
13.14. Assinale V(erdadeiro) ou F(also):
( ) Se todos os elementos de uma matriz simétrica são números
positivos então essa matriz é não-negativa.
( ) O produto de operadores não-negativos é um operador não-negativo.
( ) Um operador não-negativo é positivo ou é zero.
( ) Uma matriz do tipo [a i · b j ] é não-negativa se, e somente se,
a i = b i (para todo i).
( ) O posto de uma matriz não-negativa n × n pode ser qualquer
número de 1 a n.
( ) O inverso de um operador auto-adjunto (invertível) também é
auto-adjunto.
( ) Se existirem u,v ∈ R 3 não-nulos, com Au = 2u, Av = 3v
então existe uma base de autovetores para o operador linear
A: R 3 → R 3 .
( ) Sejam 〈 , 〉 e [ , ] produtos internos definidos em R 2 . Se um
operador A é auto-adjunto relativamente a 〈 , 〉 então A também
é auto-adjunto em relação a [ , ].
13.15. Se o espaço vetorial E possui uma base formada por autovetores
do operador A: E → E, prove que é possível definir em E um
produto interno em relação ao qual A é auto-adjunto.
13.16. Num espaço vetorial E, de dimensão finita, seja A um operador
diagonalizável (ou seja, E possui uma base formada por autovetores
de A). Se F ⊂ E é um subespaço invariante por A, prove que