lgebra Linear, Elon Lages Lima

262 Determinantes Seção 19
Na Seção 17 (vide Observação no final de 17.G) foi provado que
uma matriz simétrica é positiva se, e somente se, seus pivôs são
todos positivos. Usaremos agora determinantes para provar outro
critério de positividade de uma matriz, o qual é tradicional e elegante
porém em dimensões mais altas é muito menos prático do que
o teste dos pivôs.
Para cada k = 1,...,n o menor principal de ordem k da matriz
a = [a ij ] ∈ M(n×n) é o determinante da submatriz principal a k =
[a ij ], 1 ≤ i,j ≤ k.
Teorema 19.10. A fim de que uma matriz simétrica a = [a ij ] ∈
M(n × n) seja positiva é necessário e suficiente que seus menores
principais sejam todos positivos.
Demonstração: No início de 17.G. viu-se que se a é positiva então
suas submatrizes principais a k são positivas, logo det a k > 0 para
k = 1,...,n. Suponha, reciprocamente, que todos os menores principais
sejam positivos. Tomando a decomposição a = lu (veja item
5 ō em 17.F), resulta que a k = l k u k , para k = 1,...,n, l k e u k indicam
as submatrizes principais k×k de l e u respectivamente. Segue-se
do Exemplo 19.5 que det l k = 1, pois todos os elementos da diagonal
de l k são iguais a1. Logo det a k = det(l k u k ) = det u k = u 11 u 22 ...u kk
(produto dos elementos da diagonal de u k ). Portanto u 11 = det a 1 >
0 e u kk = det a k / det a k−1 > 0 para k = 2,...,n. Assim todos os pivôs
u kk da decomposição a = lu são positivos, logo a matriz simétrica a
é positiva.
Apêndice
Uma permutação dos inteiros 1,2,...,n é uma bijeção σ: J n → J n ,
onde J n = {1,2,...,n}. Um exemplo particular de permutação, quando
n > 1, é dado pelas transposições. Uma transposição τ: J n → J n
é definida fixando-se dois elementos i ≠ j em J n , pondo τ(i) = j,
τ(j) = i e τ(k) = k se k /∈ {i,j}.
Se σ,σ ′ : J n → J n são permutações então a função composta σ ◦
σ ′ : J n → J n também é uma permutação, chamada o produto das
permutações σ e σ ′ e indicada pela notação σσ ′ . A inversa σ −1 : J n →
J n de uma permutação é ainda uma permutação, caracterizada pelo
fato de que σσ −1 = σ −1 σ = ι n = permutação identidade J n → J n . Se