lgebra Linear, Elon Lages Lima

Apêndice A Forma Canônica de Jordan 323
Aplicando o operador A k−2 , obtemos agora α 2 A k−1 u = 0, logo α 2 = 0.
Prosseguindo analogamente, tem-se α 1 = α 2 = ··· = α k = 0. □
Corolário 1. Num espaço vetorial de dimensão n, o índice de um
operador nilpotente é ≤ n.
Corolário 2. Seja A: E → E um operador nilpotente de índice n
num espaço vetorial E, de dimensão n. Existe uma base de E na qual
a matriz de A tem a forma abaixo:
⎡ ⎤
0 0 0 ··· 0 0
1 0 0 ··· 0 0
0 1 0 ··· 0 0
⎢ ⎥
⎣.
. . ··· . . ⎦
0 0 0 ··· 1 0
Vale, evidentemente, a recíproca do Corolário 2 acima: se alguma
matriz do operador A: E → E (onde dim E = n) tem a forma acima
então A é um operador nilpotente de índice n.
Se o índice do operador nilpotente A: E → E for menor do que a
dimensão do espaçoE, mostraremos a seguir que existe uma base de
E na qual a matriz deAéformada por blocos do tipo acima, dispostos
ao longo da diagonal.
A idéia da demonstração é extremamente simples, mas a notação
pode tornar-se longa. A fim de evitar complicações tipográficas, trataremos
os casos de índices mais baixos, deixando claro o processo
indutivo que leva ao caso geral.
O argumento se baseia no seguinte fato, que foi estabelecido na
demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem, e que destacaremos
aqui como um lema:
Lema. Se {Au 1 ,...,Au p } é uma base da imagem do operador
A: E → E e {v 1 ,...,v q } é uma base do núcleo de A então {u 1 ,...,u p ,
v 1 ,...,v q } é uma base de E.
Seja inicialmente o operador nilpotente A: E → E, de índice 2:
A ≠ 0 e A 2 = 0.
Tomemos uma base {Au 1 ,...,Au p } da imagem de A. A condição
A 2 = 0 significa que Im(A) ⊂ N(A), logo existem vetores v 1 ,...,v q
tais que
U = {Au 1 ,...,Au p ,v 1 ,...,v q }