lgebra Linear, Elon Lages Lima

44 Transformações Lineares Seção 4
v
y =
ax
Pv
Figura 4.3 – Projeção ortogonal sobre uma reta.
Queremos determinar x ′ em função de x e y, o que nos dará as
coordenadas (x ′ ,ax ′ ) de Pv em função das coordenadas de v. No caso
particular em que a = 0, a reta y = ax é o eixo das abcissas e a
projeção Pv é simplesmente igual a (x,0). As equações da projeção P
sobre o eixo horizontal[ são portanto ] x ′ = x, y ′ = 0. A matriz de P na
1 0
base canônica de R 2 é . No caso geral, a extremidade do vetor
0 0
Pv é o vértice do ângulo reto num triângulo retângulo cujos demais
vértices são a origem e a extremidade do vetor v. Pelo teorema de
Pitágoras, temos
ou seja,
dist(v,0) 2 = dist(Pv,0) 2 + dist(v,Pv) 2 ,
x 2 +y 2 = (x ′ ) 2 +a 2 (x ′ ) 2 +(x−x ′ ) 2 +(y−ax ′ ) 2 .
Suponhamos x ′ ≠ 0. Desenvolvendo, simplificando e dividindo ambos
os membros por x ′ , obtemos (1+a 2 )x ′ = x+ay, donde
x ′ = x+ay
1+a 2 , ou seja x′ = 1
1+a 2 x+ a
1+a 2 y.
O casox ′ = 0 significa quev = (x,y) está sobre a perpendicular à reta
y = ax passando pela origem. Ora, a equação dessa perpendicular
é x + ay = 0, logo a expressão x ′ = (x + ay)/(1 + a 2 ) fornece x ′
em função de x e y em todos os casos. Vemos, em particular, que