lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 9 Eliminação 103
eles formarão uma base do subespaço gerado pelos vetores originalmente
dados.
As seguintes modificações, chamadas operações elementares, levam
os vetoresv 1 ,...,v m ∈ R n em vetoresv ′ 1 ,...,v′ m ∈ R n que geram
o mesmo subespaço: S(v ′ 1 ,...,v′ m) = S(v 1 ,...,v m ).
(1) Trocar a posição de dois vetores v i , v j (i < j) na lista dada. Esta
operação é esquematizada como
(v 1 ,...,v i ,...,v j ,...,v m ) ↦→ (v 1 ,...,v j ,...,v i ,...,v m ).
(2) Somar a um dos vetores um múltiplo de outro vetor da lista, ou
seja, substituir v j por v ′ j = v j +αv i , i ≠ j.
Para justificar a operação (2), sejam V = (v 1 ,...,v m ) e V ′ =
(v 1 ,...,v ′ j ,...,v m). Evidentemente S(V ′ ) ⊂ S(V). Além disso, como
v j = v ′ j −αv i, segue-se que S(V) ⊂ S(V ′ ). Logo V e V ′ geram o mesmo
subespaço: S(V) = S(V ′ ).
Em termos da matriz cujas linhas são os vetores dados, estas
operações elementares se exprimem assim:
(1) Trocar a posição de duas linhas;
(2) Somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Portanto, o subespaço gerado pelas linhas (ou seja, o espaçolinha)
de uma matriz não se altera quando essas duas operações
elementares são aplicadas a essa matriz.
Descreveremos a seguir o processo de eliminação (ou escalonamento),
o qual, mediante aplicações sucessivas das duas operações
elementares às linhas de uma matriz, produz uma matriz escalonada.
O procedimento é o seguinte:
(a) Se a 11 ≠ 0, o processo começa deixando a primeira linha intacta
e somando a cada linha L i , com i ≥ 2, a primeira linha multiplicada
por −a i1 /a 11 . Com isto se obtém uma matriz cuja primeira coluna é
(a 11 ,0,...,0).
(b) Se a 11 = 0, uma troca de linhas fornece uma matriz com a 11 ≠ 0,
desde que a primeira coluna não seja nula. Se, porém, todos os elementos
da primeira coluna são iguais a zero, passa-se para a segunda
coluna ou, mais geralmente, para a coluna mais próxima, à
direita da primeira, onde haja algum elemento não-nulo e opera-se