lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 6 Núcleo e Imagem 67
A e B são operadores lineares. O primeiro é injetivo mas não é sobrejetivo
e o segundo é sobrejetivo mas não é injetivo.
Exemplo 6.10. O Teorema do Núcleo e da Imagem dá outra explicação
para o fato de um hiperplano H ⊂ R n ter dimensão n−1. Por
esse teorema, se dim E = n e f: E → R é um funcional linear ≠ 0
então o núcleo de f é um subespaço vetorial de dimensão n−1 em E,
pois f não-nulo implica Im(f) = R logo dim Im(f) = 1 e dim N(f) =
dim E−dim Im(f) = n−1. Ora, o hiperplano
H = {(x 1 ,...,x n ) ∈ R n ;a 1 x 1 +···+a n x n = 0}
é o núcleo do funcional linear não nulo f: R n → R, definido por
f(x 1 ,...,x n ) = a 1 x 1 +···+a n x n .
Teorema 6.7. Se uma transformação linear A: E → F tem uma
inversa à esquerda B: F → E e uma inversa à direita C: F → E então
B = C e A é um isomorfismo, com A −1 = B = C.
Demonstração: Tem-se BA = I E e AC = I F . Portanto B = BI F =
B(AC) = (BA)C = I E C = C.
Corolário. Seja dim E = dim F. Se as transformações lineares
A: E → F, B: F → E são tais que BA = I E então AB = I F e B = A −1 .
Com efeito, BA = I E ⇒ A injetiva ⇒ A sobrejetiva (Corolário
do Teorema 6.6) ⇒ AC = I F para alguma C ⇒ C = B (Teor. 6.7)
⇒ AB = I F .
Exercícios
6.1. Prove que o núcleo e a imagem de uma transformação linear
A: E → F são respectivamente subespaços vetoriais de E e F.
6.2. Seja A: E → E um operador linear. Para quaisquer vetores
u ∈ N(A) e v ∈ Im(A), prove que se tem Au ∈ N(A) e Av ∈ Im(A).
6.3. Encontre númerosa,b,c,dde modo que o operadorA: R 2 → R 2 ,
dado porA(x,y) = (ax+by,cx+dy) tenha como núcleo a retay = 3x.