lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 6 Núcleo e Imagem 61
linear ou não. No caso linear, porém, o teorema abaixo simplifica a
verificação da injetividade.
Teorema 6.2. A fim de que uma transformação linear A: E → F
seja injetiva é necessário e suficiente que seu núcleo N(A) contenha
apenas o vetor nulo.
Demonstração: Seja A injetiva. Então v ∈ N(A) ⇒ A · v = 0 =
A · 0 ⇒ v = 0, logo N(A) = {0}. Reciprocamente, seja N(A) = {0}.
Então Av = Av ′ ⇒ A(v − v ′ ) = Av − Av ′ = 0 ⇒ v − v ′ ∈ N(A) ⇒
v−v ′ = 0 ⇒ v = v ′ , logo A é injetiva.
Teorema 6.3. Uma transformação linear é injetiva se, e somente se,
leva vetores L.I. em vetores L.I. .
Demonstração: Seja A: E → F uma transformação linear injetiva.
Se os vetores v 1 ,...,v n ∈ E são linearmente independentes, vamos
provar que suas imagensAv 1 ,...,Av n são vetores linearmente independentes
em F. Com efeito, se α 1 · Av 1 + ··· + α n · Av n = 0 então
A(α 1 v 1 + ··· + α n v n ) = 0, logo α 1 v 1 + ··· + α n v n = 0 pois A é injetiva.
Como v 1 ,...,v n são L.I., segue-se que α 1 = ··· = α n = 0,
portanto Av 1 ,...,Av n são L.I. . Reciprocamente se a transformação
linear A: E → F leva vetores L.I. em vetores L.I. então v ≠ 0 em
E ⇒ {v} L.I. ⇒ {Av} L.I. ⇒ Av ≠ 0, portanto N(A) = {0} e A é injetiva.
Segue-se deste teorema que se E tem dimensão finita n e A: E →
F é uma transformação linear injetiva então dim F ≥ n. Assim, por
exemplo, não existe uma transformação linear injetiva de R 3 em R 2 .
Teorema 6.4. Seja A: E → F uma transformação linear. Para todo
b ∈ Im(A), o conjunto V = {x ∈ E;Ax = b}, formado pelas soluções
do sistema linear Ax = b, é uma variedade afim em E, paralela ao
núcleo N(A).
Demonstração: Fixemos x 0 ∈ V, isto é, com Ax 0 = b. Afirmamos
que V = x 0 +N(A). Com efeito, v ∈ N(A) ⇒ A(x 0 +v) = Ax 0 +Av =