lgebra Linear, Elon Lages Lima

146 Subespaços Invariantes Seção 12
dutíveis do primeiro e do segundo graus. (Lembramos que se chama
mônico um polinômio no qual o coeficiente do termo de mais alto
grau é igual a 1 e que um polinômio irredutível do segundo grau não
admite raiz real.)
O teorema a ser demonstrado significa que existe em E um subespaço
vetorial de dimensão 1 ou 2, invariante por A de acordo com
a seguinte definição.
Diz-se que um subespaço vetorial F ⊂ E é invariante pelo operador
linear A: E → E quando A(F) ⊂ F, isto é, quando a imagem Av
de qualquer vetor v ∈ F é ainda um vetor em F.
SeFéum subespaço invariante do operadorA: E → E, a restrição
de A aos vetores de F define um operador que, salvo quando houver
perigo de confusão, indicaremos com a mesma notação A: F → F.
Assim, a existência de um subespaço invariante permite o estudo de
um operador mais simples, por estar definido num domínio menor.
Exemplo 12.1. Os subespaços {0} e E são invariantes por qualquer
operador A: E → E. O núcleo N(A) e a imagem Im(A) são também
exemplos óbvios de subespaços invariantes. Um subespaço F de dimensão
1 (reta passando pela origem) é invariante por A se, e somente
se, existe um número λ tal que Av = λv para todo v ∈ F. [Com
efeito, fixando um vetor u ≠ 0 em F, todos os demais elementos de
F são da forma αu, α ∈ R. Como Au ∈ F, tem-se Au = λu. Para
qualquer outro v ∈ F, vale v = αu logo Av = αAu = αλu = λαu, logo
Av = λv, com o mesmo λ.] Se u,v ∈ E são linearmente independentes,
o subespaço F gerado por u e v (plano contendo a origem) é invariante
por A se, e somente se Au ∈ F e Av ∈ F, isto é, Au = αu+βv
e Av = γu+δv.
Um vetor v ≠ 0 em E chama-se um autovetor do operador
A: E → E quando existe λ ∈ R tal que
Av = λv.
O número λ ∈ R, por sua vez, chama-se um autovalor do operador
A quando existe um vetor não-nulo v ∈ E tal que Av = λv. Diz-se
então que o autovalor λ corresponde, ou pertence, ao autovetor v e,
vice-versa, que o autovetor v também corresponde, ou pertence, ao
autovalor λ. Então, para todo w = αv, tem-se Aw = λw.