lgebra Linear, Elon Lages Lima

218 Tópicos Matriciais Seção 17
17.G Matrizes Positivas: Cholesky versus lu
Quando a matriz a = [a ij ] ∈ M(m × m) é positiva, afirmamos que
todas as submatrizes principais a r = [a ij ], 1 ≤ i,j ≤ r, são também
positivas, portanto invertíveis. Com efeito, dado o vetor não-nulo
v = (x 1 ...,x r ), tomamosv = (x 1 ,...,x m ), comx i = x i parai = 1,...,r
e x i = 0 para i = r+1,...,m. Então v é um vetor não-nulo em R m ,
logo
r∑ m∑
a ij x i x j = a ij x i x j > 0.
i,j=1
i,j=1
Portanto o processo de escalonamento, quando aplicado a uma matriz
positiva a, não requer transposições de linhas. Assim, tem-se a
decomposição a = lu.
Vemos que toda matriz positiva possui duas decomposições: Cholesky
e lu. É natural indagar qual a relação entre elas. Mostraremos
que são muito próximas: qualquer delas se obtém a partir da outra
de modo simples. Antes porém precisamos estabelecer a unicidade
abaixo.
Se a matriz a é invertível então existe uma única maneira de
escrevê-la como um produto a = lu, onde l é triangular inferior, com
os elementos da diagonal todos iguais a 1, e u é triangular superior.
Com efeito, sendo a invertível, a igualdade a = lu obriga l e u a
serem invertíveis. Portanto
a = l 1 u 1 = l 2 u 2 ⇒ l −1
2 l 1 = u 2 u −1
1 .
Ora, o primeiro membro da última igualdade é uma matriz triangular
inferior e o segundo membro é triangular superior. Logo ambas
são matrizes diagonais. Como os elementos diagonais de l são todos
iguais a 1, segue-se que l 1 = l 2 = I m , portanto u 1 = u 2 e fica provada
a unicidade da decomposição a = lu no caso de a ser invertível.
Voltemos à matriz positiva a ∈ M(m×m), que admite as decomposições
a = t T .t = l.u, onde l é triangular inferior com 1’s na diagonal,
t e u são triangulares superiores e todos os elementos da diagonal
de t são positivos. Se indicarmos com d ∈ M(m×m) a matriz
diagonal com d ii = t ii , então a = (t T d −1 )(dt), onde t T d −1 é triangular
inferior com 1’s na diagonal e dt é triangular superior. Segue-se
da unicidade acima provada que l = t T d −1 e u = dt, mostrando as-