lgebra Linear, Elon Lages Lima

184 Operadores Ortogonais Seção 14
complexo. Os fatores P e U são univocamente determinados a partir
de A, no caso em que A é invertível. Provemos isto. É claro que
A invertível obriga P a ser também invertível, donde positivo. De
A = PU tiramos A ∗ = U ∗ P e, multiplicando membro a membro estas
igualdades, vem AA ∗ = PUU ∗ P = P 2 , portanto P é a raiz quadrada
positiva do operador positivo AA ∗ . (Vide Teorema 13.8.) Multiplicando
a igualdade A = PU por P −1 à esquerda, vem U = P −1 A. Isto
mostra que, no caso em que A é invertível, P = √ AA ∗ e U = P −1 A
são univocamente determinados a partir da igualdade A = PU.
Exercícios
14.1. Prove que as linhas de uma matriz a são duas a duas ortogonais
se, e somente se, aa T = d, onde d é uma matriz diagonal.
Enuncie e prove um resultado análogo sobre a ortogonalidade das
colunas de a.
14.2. Se as linhas de uma matriz quadrada forem duas a duas ortogonais
e tiverem a mesma norma, prove que as colunas dessa matriz
também são duas a duas ortogonais.
14.3. Dê os seguintes exemplos:
(a) Uma matriz invertível cujas linhas são duas a duas ortogonais
mas as colunas não são.
(b) Uma matriz (não-quadrada) cujas linhas são ortogonais e têm
a mesma norma mas as colunas não são ortogonais.
(c) Uma matriz cujas linhas (e colunas) são duas a duas ortogonais
mas as normas das linhas são diferentes.
14.4. Seja f: R n → R n uma função tal que f(0) = 0 e |f(u) − f(v)| =
|u−v| para quaisquer u,v ∈ R n . (Ou seja: f deixa 0 fixo e preserva
distâncias.) Prove:
(a) Para todo v ∈ R n , tem-se |f(v)| = |v|.
(b) Para quaisquer u,v ∈ R n , tem-se 〈f(u),f(v)〉 = 〈u,v〉. [Use a
igualdade 〈u,v〉 = 1 2 (|u|2 +|v| 2 −|u−v| 2 ).]