lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 11 A Adjunta 135
todos os vetores w ∈ E por v (desde que esses produtos dependam
linearmente de w).
O Teorema 11.1 é responsável pelo pouco (ou nenhum) uso que
se faz de funcionais lineares em espaços, como R n , onde há um produto
interno: funcionais são substituídos por vetores e a ação de um
funcional sobre um vetor é substituída por um produto interno.
De posse do Teorema 11.1, definiremos a adjunta de uma transformação
linear A: E → F onde E, F são espaços vetoriais de dimensão
finita, ambos munidos de produto interno.
A adjunta de A deve ser uma transformação linear A ∗ : F → E tal
que, para v ∈ E e w ∈ F quaisquer se tenha:
〈Av,w〉 = 〈v,A ∗ w〉. (*)
Assim, a imagem A ∗ w ∈ E de um vetor arbitrário w ∈ F é, por
definição, aquele vetor de E tal que o produto interno de qualquer
vetor v ∈ E por ele é igual a 〈Av,w〉. Como, para cada w ∈ F, o
número f(v) = 〈Av,w〉 depende linearmente de v (ou seja, f é um
funcional linear), o Teorema 11.1 assegura que o vetor A ∗ w ∈ E
existe e é único de modo que valha (*) para quaisquer v ∈ E, w ∈ F.
A correspondência w ↦→ A ∗ w assim definida é uma transformação
linear de F em E. Com efeito, dados w,w ′ ∈ F tem-se, para todo
v ∈ E:
〈
v,A ∗ (w+w ′ ) 〉 = 〈 Av,w+w ′〉 = 〈Av,w〉+ 〈 Av,w ′〉
= 〈v,A ∗ w〉+ 〈 v,A ∗ w ′〉 = 〈 v,A ∗ w+A ∗ w ′〉 .
Assim, A ∗ (w + w ′ ) e A ∗ w + A ∗ w ′ são vetores em E cujos produtos
internos por qualquer vetor v ∈ E são iguais. Portanto A ∗ (w+w ′ ) =
A ∗ w + A ∗ w ′ . De modo análogo se verifica que A ∗ (αw) = α · A ∗ w.
Assim, A ∗ ∈ L(F;E).
A transposta de uma matriz a = [a ij ] ∈ M(m × n) é a matriz
a T = [a ji ] ∈ M(n × m) que tem como linhas as colunas de a e como
colunas as linhas de a, na mesma ordem.
Teorema 11.2. Sejam U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E e V = {v 1 ,...,v m } ⊂ F
bases ortonormais. Se a = [a ij ] ∈ M(m × n) é a matriz da transformação
linear A: E → F nas bases U, V então a matriz da adjunta
A ∗ : F → E nas bases V, U é a transposta a T = [a ji ] ∈ M(n × m)
de a.