lgebra Linear, Elon Lages Lima

258 Determinantes Seção 19
O teorema seguinte utiliza, em sua demonstração, a caracterização
do determinante de uma matriz como função multilinear alternada
das linhas ou das colunas dessa matriz.
Teorema 19.8. Se b ∈ M(r×r), c ∈ M(r×(n−r)), 0 ∈ M((n−r)×r)
e d ∈ M((n−r)×(n−r)) então o determinante da matriz
[ ] b c
a = ∈ M(n×n)
0 d
é igual a det b·det d.
Demonstração: Para cada c fixa,
f(b, d) = det
[ ] b c
0 d
é uma função r-linear alternada das colunas de b e (n − r)-linear
alternada das linhas de d, logo
[ ] b c
det = det b·f(I
0 d
r , d)
pois
= det b·det d·f(I r , I n−r )
= det b·det d,
[ ]
Ir c
f(I r , I n−r ) = det = 1,
0 I n−r
já que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos
elementos da sua diagonal.
O Teorema 19.8 implica imediatamente uma sua versão mais geral,
onde se tem uma matriz triangular por blocos, por exemplo, do
tipo
⎡ ⎤
b c d
a = ⎣ e f⎦ .
g
Aí, b, e, g são matrizes quadradas (de ordens possivelmente diferentes)
e b, c, d têm o mesmo número de linhas, assim como e, f. Além
disso, d, f, g têm o mesmo número de colunas, assim como c, e. Os
lugares em branco são ocupados por zeros.