lgebra Linear, Elon Lages Lima

126 Produto Interno Seção 10
soma das projeções ortogonais de v sobre os eixos dos w i , tem a propriedade
de que w = v − z é perpendicular aos vetores w 1 ,...,w m .
Daí resulta imediatamente que w é perpendicular a todos os vetores
de F, pois esses vetores são combinações lineares dos w i . O vetor z
chama-se a projeção ortogonal de v sobre o subespaço F. Escrevese
z = pr F (v). (Fig. 10.5.) [Para a fórmula de pr F (v) quando a base
{w 1 ,...,w m } ⊂ F não é ortogonal, veja os Corolários 1 e 2 do Teorema
16.1 ou o Exercício 16.7.]
Figura 10.5.
Se z ′ é qualquer outro vetor em F, temos
v−z ′ = (v−z)+(z−z ′ ).
Como z − z ′ ∈ F, segue-se que (v − z) ⊥ (z − z ′ ). Do Teorema de
Pitágoras resulta então que|v−z ′ | 2 = |v−z| 2 +|z−z ′ | 2 . Em particular,
|v − z ′ | ≥ |v − z|. Isto mostra que a distância de v à sua projeção
z = pr F (v) sobre o subespaço F é menor do que ou igual à distância
de v a qualquer outro vetor z ′ ∈ F. Noutras palavras, a projeção
z = pr F (v) é o vetor mais próximo de v no subespaço F.
Se {u 1 ,...,u m } ⊂ F é uma base ortonormal então a projeção ortogonal
de um vetor v ∈ E sobre o subespaço F se exprime, de forma
mais simples, como
pr F (v) =
m∑
〈u i ,v〉u i .
Isto está de acordo com a seguinte observação geral:
i=1