lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 21 Espaços Vetoriais Complexos 283
implica
(α 1 +iβ 1 )u 1 +···+(α n +iβ n )u n = 0,
logo α 1 +iβ 1 = ··· = α n +iβ n = 0 pois U é L.I. sobre os complexos.
Daí resulta que α 1 = ··· = α n = β 1 = ··· = β n = 0, portanto U ′ é L.I.
sobre os reais. Além disso, dado qualquer v ∈ E, existem números
complexos α 1 +iβ 1 ,...,α n +iβ n tais que
v =
n∑
(α j +iβ j )u j =
j=1
n∑
α j u j +
j=1
n∑
β j (iu j ).
Assim, U ′ é uma R-base para E.
Com uma notação de significado evidente, podemos portanto concluir
que se dim C E = n então dim R E = 2n.
Seja [a kj + ib kj ] ∈ M(m × n;C) a matriz da transformação
C-linear A: E → F relativamente às bases U = {u 1 ,...,u n } ⊂ E e
V = {v 1 ,...,v m } ⊂ F. Considerando E e F como espaços vetoriais
reais, A pode ser vista como uma transformação R-linear A r : E → F,
a descomplexificada de A. Relativamente às bases
e
j=1
U ′ = {u 1 ,...,u n ,iu 1 ,...,iu n } ⊂ E
V ′ = {v 1 ,...,v m ,iv 1 ,...,iv m } ⊂ F,
vejamos qual é a matriz de A r . Temos, para j = 1,...,n:
A r u j = Au j =
m∑
(a kj +ib kj )v k =
k=1
A r (iu j ) = A(iu j ) = i·Au j =
Portanto a matriz procurada é
[ ] a −b
c =
b a
m∑
a kj v k +
k=1
m∑
(−b kj )v k +
k=1
∈ M(2m×2n),
m∑
b kj (iv k ),
k=1
m∑
a kj (iv k ),
onde a = [a kj ] ∈ M(m×n) e b = [b kj ] ∈ M(m×n). Esta matriz 2m×
2n chama-se a descomplexificada da matriz[a kj +ib kj ] ∈ M(m×n;C).
Mostraremos logo mais que, quando m = n, tem-se det c ≥ 0, e que
det c = 0 se, e somente se, det A = 0.
k=1