lgebra Linear, Elon Lages Lima

248 Determinantes Seção 19
Corolário. Sejaf: E×···×E → Rr-linear alternada. Para toda permutação
σ dos inteiros 1,2,...,r, e toda lista de vetores v 1 ,...,v r ∈ E
tem-se
f(v σ(1) ,...,v σ(r) ) = ε σ f(v 1 ,...,v r ),
isto é,
f(v σ(1) ,...,v σ(r) ) = ±f(v 1 ,...,v r ),
onde o sinal é + se σ é uma permutação par e − se σ é uma permutação
ímpar. (Vide Apêndice.)
Com efeito, passa-se da seqüência (v 1 ,...,v r ) para (v σ(1) ,..., v σ(r) )
mediante k transposições sucessivas, que correspondem a k mudanças
de sinal no valor de f. Como ε σ = (−1) k , o corolário segue-se.
A notação A r (E) indica o espaço vetorial das formas r-lineares
alternadas f: E×···×E → R.
Exemplo 19.1. Dados os funcionais lineares f 1 ,...,f r : E → R, a
função f: E×···×E → R, definida por
f(v 1 ,...,v r ) = f 1 (v 1 )·f 2 (v 2 )···f r (v r )
é uma forma r-linear, chamada o produto tensorial dos funcionais
lineares f 1 ,...,f r .
Exemplo 19.2. Todo funcional linearf: E → R é uma forma 1-linear
alternada, já que não é possível violar a condição de anti-simetria.
Portanto A 1 (E) = E ∗ .
Exemplo 19.3. Qualquer aplicação r-linear f: R×···×R → R é do
tipo f(t 1 ,...,t r ) = a·t 1 ·t 2···t r , onde a = f(1,...,1). (Vide Teorema
19.1.) Quando r > 1, f só pode ser alternada quando a = 0. Logo
A r (R) = {0} se r > 1.
Exemplo 19.4. A formaf: R 2 ×R 2 → R, definida porf(u,v) = x 1 y 2 −
x 2 y 1 quando u = (x 1 ,x 2 ) e v = (y 1 ,y 2 ), é bilinear alternada. Se
g: R 2 × R 2 → R é qualquer outra forma bilinear alternada em R 2
então, pondo c = g(e 1 ,e 2 ), vem:
g(u,v) = g(x 1 e 1 +x 2 e 2 ,y 1 e 1 +y 2 e 2 )
= x 1 y 1 g(e 1 ,e 1 )+x 1 y 2 g(e 1 ,e 2 )
+x 2 y 1 g(e 2 ,e 1 )+x 2 y 2 g(e 2 ,e 2 )
= (x 1 y 2 −x 2 y 1 )g(e 1 ,e 2 )
= c·(x 1 y 2 −x 2 y 1 ) = c·f(u,v)