lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 4 Transformações Lineares 45
a projeção P: R 2 → R 2 é um operador linear, cuja matriz na base
canônica de R 2 é ⎡
⎢
⎣
⎤
1 a
1+a 2 1+a 2
⎥
a a 2
1+a 2 1+a 2
Exemplo 4.4. (Reflexão em torno de uma reta.) Seja S: R 2 → R 2
a reflexão em torno da reta y = ax. Para todo v = (x,y) ∈ R 2 , a reta
y = ax é a bissetriz do ângulo entre v e Sv e é perpendicular à reta
que liga v a Sv. Seja P: R 2 → R 2 a projeção ortogonal sobre a reta
y = ax. A Fig. 4.4 mostra que, para todo v ∈ R 2 , tem-se v+Sv = 2Pv,
ou seja, que I+S = 2P, onde I: R 2 → R 2 é o operador identidade. Daí
vem S = 2P − I. Usando o exemplo anterior, concluímos que, para
todo v = (x,y), tem-se Sv = (x ′ ,y ′ ), onde
⎦ .
x ′ = 1−a2 2a
x+
1+a2 1+a 2 y, y′ = 2a 1−a2
x−
1+a2 1+a 2 y.
v
2Pv= v+
Sv
Pv
Sv
Figura 4.4 – Reflexão em torno de uma reta.
Exemplo 4.5. Como vimos acima, o único tipo de funcional linear
ϕ: R n → R é o da formaϕ(v)=a 1 x 1 +···+a n x n , para v = (x 1 ,...,x n ).
Por outro lado, se E = C o ([a,b]) é o espaço vetorial das funções
contínuas f: [a,b] → R, podemos definir o funcional linear ϕ: E → R
pondo
ϕ(f) =
∫ b
a
f(x)dx.
Outro exemplo de funcional linearξemEconsiste em fixar um ponto
c ∈ [a,b] e definir, para cada f ∈ E, ξ(f) = f(c). Ainda no contexto