lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 5 Produto de Transformações Lineares 55
5.4. Sejam R,R ′ : R 2 → R 2 respectivamente as rotações de ângulos θ
e θ ′ em torno da origem. Partindo do fato de que o produto RR ′ é a
rotação de ângulo θ + θ ′ , use o Exemplo 4.2 para obter as fórmulas
clássicas cos(θ + θ ′ ) = cos θ · cos θ ′ − sen θ · sen θ ′ e sen(θ + θ ′ ) =
sen θ·cos θ ′ + sen θ ′ · cos θ.
5.5. Seja A: E → E um operador nilpotente. Prove que existe algum
vetor v ≠ 0 em E tal que Av = 0.
5.6. Dados os operadoresA,B: R 2 → R 2 dados porA(x,y) = (x+y,0)
e B(x,y) = (−y,x), obtenha as expressões dos operadores A + B,
AB, BA, A 2 e B 2 . Descreva geometricamente esses cinco operadores.
(Exemplo: A é a projeção sobre o eixo x paralelamente a uma certa
reta. (Qual?))
5.7. Seja A: R 3 → R 3 dado por A(x,y,z) = (ay + bz,cz,0). Mostre
que A 3 = 0.
5.8. Sejam A,B,C,D: R 2 → R 2 os operadores dados por A(x,y) =
(x,0), B(x,y) = (−y,x), C(x,y) = (0,y) e D(x,y) = (y,−x). Determine
o operador ABCD.
5.9. Considere as transformações lineares A: R 2 → R 3 e B: R 3 → R 2 ,
definidas por: A(x,y) = (x,y,x+y) e B(x,y,z) = (ax+(a−1)y+(1−
a)z,−bx+(1−b)y+bz). Determine o operador BA: R 2 → R 2 .
5.10. Dado o operador A: R 2 → R 2 , com A(x,y) = (3x−2y,2x+7y),
ache um vetor não-nulo v = (x,y) tal que Av = 5v.
5.11. Sejam A,B: E → E operadores lineares. Suponha que existam
vetores u,v ∈ E tais que Au e Av sejam L.D. . Prove que BAu e BAv
são L.D. . Se a dimensão de E for igual a 2, prove também que ABu
e ABv são L.D. . (Sugestão: se u e v são L.D. o fato é óbvio. Caso
contrário, u e v formam uma base de E. Exprima Bu e Bv em termos
dessa base e depois aplique A.)
5.12. Sejam A,B: R 3 → R 3 definidos por A(x,y,z) = (x,y,0) e
B(x,y,z) = (x + z,y,0). Obtenha vetores u,v ∈ R 3 tais que Au e
Av sejam L.D. porém ABu e ABv sejam L.I. .
5.13. No espaço vetorial P dos polinômios, considere os operadores
lineares D,A: P → P de derivação (Dp(x) = p ′ (x)) e multiplicação
por x (Ap(x) = xp(x)) respectivamente. Determine DA−AD.