lgebra Linear, Elon Lages Lima

208 Tópicos Matriciais Seção 17
Com efeito, escrevendo
u j =
n∑
p ij v i ,
i=1
sabemos que cada u j pertence ao subespaço vetorial gerado por
v 1 ,...,v j , logo u j = p 1j v 1 + ··· + p jj v j . Isto mostra que a matriz de
passagem p = [p ij ] ∈ M(n × n) é triangular superior. Além disso,
como u j = |w j | −1 w j , onde o vetor w j tem a forma
w j = v j − ∑ i 0 (isto é, quando a é positiva).
Como vimos acima (17.A) existem vetores v 1 ,...,v n ∈ R n tais
que a ij = 〈v i ,v j 〉, ou seja, a = g(v 1 ,...,v n ) é a matriz de Gram dos
vetores v 1 ,...,v n , os quais formam uma base de R n , pois a > 0.
Pelo processo de Gram-Schmidt, obtemos uma base ortonormal
{u 1 ,...,u n } ⊂ R n a partir de v 1 ,...,v n . Para i,j = 1,...,n, temos
u i = ∑ r
p ri v r , u j = ∑ s
p sj v s ,
onde a matriz de passagem p=[p ij ] é triangular superior, com p ii >0