lgebra Linear, Elon Lages Lima

Seção 9 Eliminação 105
tem esses vetores como linhas a fim de obter uma matriz escalonada
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 1 2 3 2 1 3 0 2 1 3 0
⎢2 1 3 0
⎥
⎣3 4 2 0⎦ L −→
2↔L 1
⎢0 1 2 3
L
⎥ 3 − 3 2 L 1
⎣3 4 2 0⎦
−→ ⎢0 1 2 3
⎥
L 4 −2L 1
⎣ 5
0
2
− 5 2
0⎦
4 2 0 1 4 2 0 1 0 0 −6 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2 1 3 0 2 1 3 0
L 3 − 5 2 L 2
−→ ⎢0 1 2 3
L
⎥ 4 − 4
⎣0 0 − 15
2
− 15
5 L 3
⎦ −→ ⎢0 1 2 3
⎥
⎣
2
0 0 − 15
2
− 15 ⎦ .
2
0 0 −6 1 0 0 0 7
Concluímos que os quatro vetores dados são L.I., portanto constituem
uma base de R 4 . Além disso, vemos que os vetores w 1 =
(2,1,3,0), w 2 = (0,1,2,3), w 3 = (0,0,− 15
2 ,−15 2 ) e w 4 = (0,0,0,7)
também formam uma base de R 4 .
9.B. Cálculo do posto de uma transformação linear
A resposta à questão 9.A permite determinar o posto de uma transformação
linear A: R n → R m e até mesmo uma base para Im(A).
Uma tal base pode ser formada pelas colunas não-nulas de uma matriz
escalonada, obtida da matriz de A por meio de operações elementares
efetuadas sobre suas colunas. Ou então podemos, como
acima, operar sobre as linhas da transposta da matriz de A. (Pois
as linhas da transposta são as colunas da matriz dada.) Não haverá
confusão se lembrarmos que a base de Im(A) é formada por vetores
de R m , não de R n ! Quando m = n, é preciso ter cuidado, pois a imagem
de A é gerada pelos vetores-coluna de sua matriz e não pelos
vetores-linha.
Exemplo 9.5. Obter uma base para a imagem da transformação
linear A: R 3 → R 4 , definida por
A(x,y,z) = (x+5y+9z,2x+6y+10z,3x+7y+11z,4x+8y+12z).
Temos Ae 1 = (1,2,3,4), Ae 2 = (5,6,7,8) e Ae 3 = (9,10,11,12), de
modo que a imagem deAégerada pelos vetoresv 1 ,v 2 ,v 3 do Exemplo
9.3. Resulta então daquele exemplo que A tem posto 2 e os vetores
w 1 = (1,2,3,4), w 2 = (0,−4,−8,−12) formam uma base de Im(A).
Note que a matriz que ocorre no Exemplo 9.3 não é a matriz de A e
sim a sua transposta.