lgebra Linear, Elon Lages Lima

110 Eliminação Seção 9
O núcleo de A é o conjunto das soluções x = (x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ) do sistema
linear homogêneo
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 + 2x 5 = 0
3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 3x 4 + 4x 5 = 0
x 1 − x 3 + x 4 = 0.
Para sistemas homogêneos, não há necessidade de considerar a matriz
aumentada. O escalonamento da matriz a é feito segundo o
esquema
⎡ ⎤
1 2 3 1 2
⎣3 4 5 3 4⎦ −→
1 0 −1 1 0
⎡ ⎤
1 2 3 1 2
⎣0 −2 −4 0 −2⎦ −→
0 −2 −4 0 −2
−→
⎡ ⎤
1 2 3 1 2
⎣0 −2 −4 0 −2⎦ .
0 0 0 0 0
Portanto o sistema homogêneo inicial é equivalente ao sistema escalonado
ou seja
x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 + 2x 5 = 0
− 2x 2 − 4x 3 − 2x 5 = 0,
x 1 + 2x 2 = −3x 3 − x 4 − 2x 5
− 2x 2 = 4x 3 + 2x 5 .
Resolvendo o último (considerando x 3 , x 4 e x 5 como conhecidos), vem
x 2 = −2x 3 − x 5 e x 1 = x 3 − x 4 . Concluímos então que o núcleo da
transformação linear A é formado por todos os vetores x = (x 3 −
x 4 ,−2x 3 − x 5 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ), onde os números x 3 , x 4 e x 5 são escolhidos
arbitrariamente. Uma base do núcleo é obtida quando se faz sucessivamente
(x 3 ,x 4 ,x 5 ) = (1,0,0), (x 3 ,x 4 ,x 5 ) = (0,1,0) e (x 3 ,x 4 ,x 5 ) =
(0,0,1). Explicitamente, essa base é formada pelos vetores w 1 =
(1,−2,1,0,0), w 2 = (−1,0,0,1,0) e w 3 = (0,−1,0,0,1).