lgebra Linear, Elon Lages Lima

176 Operadores Ortogonais Seção 14
Exemplo 14.1. A matriz u, cujas colunas são os vetores
(
u 1 = − 1 3 , 2 3 , 2 )
,
3
( 2
u 2 =
3 ,−1 3 3)
, 2 e
( 2
u 3 =
3 , 2 3 3)
,−1 ,
é ortogonal.
Exemplo 14.2. (Matrizes ortogonais 2×2.) Seja
[ ] a b
u =
c d
uma matriz ortogonal 2 × 2. Como u 1 = (a,c) é um vetor unitário
em R 2 , existe θ ∈ R tal que a = cos θ, c = sen θ. Sendo u 2 = (b,d)
unitário e perpendicular a u 1 , devemos ter u 2 = ±(− sen θ, cos θ).
Assim, há duas possibilidades para a matriz u:
u =
[ cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
ou u =
[ ]
cos θ sen θ
sen θ − cosθ
No primeiro caso, tem-se ad−bc = 1 e no segundo ad−bc = −1.
No primeiro caso, o polinômio característico de u, p(λ) = λ 2 −
(2 cos θ)λ+1, não tem raízes reais salvo se θ = 0 ou θ = 180 ◦ , casos
em que u = ±I 2 . Trata-se da matriz de uma rotação. No segundo
caso, p(λ) = λ 2 −1 tem raízes ±1. Então o operador U: R 2 → R 2 cuja
matriz (na base canônica) é u admite autovetores v 1 , v 2 , com Uv 1 =
v 1 e Uv 2 = −v 2 . Observe que, neste caso, a matriz u é simétrica, o
operador U é auto-adjunto, {v 1 ,v 2 } ⊂ R 2 é uma base ortonormal e U
é a reflexão em torno do eixo que contém v 1 , paralelamente a v 2 .
Exemplo 14.3. (Matriz de passagem ortogonal.) Sejam U =
{u 1 ,... ,u n } ⊂ E e U ′ = {u ′ 1 ,...,u′ n} ⊂ E bases ortonormais. A matriz
de passagem p = [p ij ] de U para U ′ é uma matriz ortogonal.
Com efeito, para quaisquer i,j = 1,...,n, temos
n
u ′ i = ∑
n p ki u k e u ′ j = ∑
p kj u k ,
k=1
k=1
.