lgebra Linear, Elon Lages Lima

154 Subespaços Invariantes Seção 12
12.20. Dado o operador linear A: E → E, suponha que E = F 1 ⊕ F 2 ,
ondeAv 1 = λ 1 v 1 sev 1 ∈ F 1 eAv 2 = λ 2 v 2 sev 2 ∈ F 2 , comλ 1 ≠ λ 2 . Prove
que λ 1 e λ 2 são os únicos autovalores de A e que os autovetores de A
estão em F 1 ou em F 2 .
12.21. Seja A: R n → R n o operador linear cuja matriz na base
canônica tem todos os elementos iguais a 1. Prove que o posto de
A é igual a 1 e que R n = N(A)⊕Im(A). Conclua que os autovalores
deAsão 0 eneque seus autovetores pertencem aN(A) ou aIm(A).
Exiba uma base de R n na qual a matriz de A tem n 2 −1 zeros.
12.22. Se todo vetor não-nulo de E for um autovetor do operador
linear A: E → E, prove que A = λI.
12.23. Para todo autovalor λ do operador linear A: E → E, seja
E λ = {v ∈ E;Av = λv}. Prove que E λ é um subespaço vetorial de E,
invariante por A. (E λ chama-se auto-subespaço correspondente ao
autovalor λ.)
12.24. Prove que um subespaço que contém o núcleo de uma projeção
é invariante por essa projeção.
12.25. Se AB = BA, prove que a imagem por B de um subespaço
invariante por A é ainda invariante por A.
12.26. Seja A: E → E um operador linear tal que A 2 possui algum
autovalor ≥ 0. Prove que A possui autovetor. Dê um exemplo em
que A 2 possui autovetor mas A não possui.
12.27. Se os autovetores do operador linearA: E → E geram o espaço
E e, além disso, os subespaços invariantes por A são também invariantes
por B, prove que AB = BA.
12.28. Seja dim E = n. Se o operador linear A: E → E possui n
autovalores distintos, prove que existem no espaço E exatamente 2 n
subespaços invariantes por A.
12.29. SejaA: E → E um operador no espaço vetorialE, de dimensão
finita, onde E = F 1 ⊕···⊕F k e cada F i é invariante por A. Tome uma
base V ⊂ E que seja uma união de bases dos F i . Determine a forma
da matriz de A na base V.